שלום לכם, 

המורה שמוליק מלמד את תלמידי כיתה ח' את משפט פיתגורס, ומחפש שלשות פיתגוריות כדי שתוצאות התרגילים יהיו מספרים שלמים. הוא מכיר את השלשה (3,4,5), שכל מכפלותיה גם הם שלשות פיתגוריות (6,8,10) וכו'), אבל גם תלמידיו כבר מכירים אותה והוא מחפש שלשות נוספות.

לאחרונה הוא קרא על השיטה הבאה ליצירת שלשות פיתגוריות:

1. בחר ארבעה מספרי פיבונצ'י עוקבים.
2.  הכפל את האיבר הראשון ברביעי. זה יהיה אורך הניצב הראשון.
3. הכפל את האיבר השני בשלישי ואת התוצאה כפול בשתיים. זה יהיה אורך הניצב השני.
4. מצא את סכום הריבועים של האיבר השני והשלישי. זה יהיה אורך היתר.

שמוליק לא סומך על שיטות, והוא הוכיח מתמטית שהשיטה עובדת. האם תצליחו גם אתם?

בהצלחה ושבוע טוב!

פזיה

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך במענה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

13 תגובות

  • א.עצבר

    שיטה חדשה ליצירת שלשות פיתגוריות

    בשיטה זו בוחרים מספר גדול מ 1 לאורך ניצב ראשון
    לאחר הבחירה מעלים את המספר הנבחר בחזקת 2 , ומפחיתים 1
    מחצית התוצאה תתאים לאורך ניצב שני.
    מחצית התוצאה ( פלוס 1 ) תתאים לאורך היתר. אם נבחר את ( 1 + שורש 2) לאורך ניצב ראשון,
    נקבל ( 1 פלוס שורש 2 ) גם לאורך ניצב שני.
    לכן מדובר במשולש ישר זווית, בעל שני ניצבים שווים באורכם.
    מספר האורך של היתר יהיה ( 2 פלוס שורש 2 ) מכאן נובע קיומו של ריבוע אי רציונלי, שאורך צלעו ( 1 + שורש 2 )
    ואורך אלכסונו ( 2 + שורש 2 ) שיטת עצבר מאפשרת לזהות משולשים ישרי זווית על מספר יחיד. דוגמה: איך נראה משולש 7 ?
    הוא בעל ניצב באורך 7 , ניצב באורך 24 , ויתר באורך 25 איך נראה משולש 2.8 ?
    הוא בעל ניצב באורך 2.8 , ניצב באורך 3.42, ויתר באורך 4.42 א.עצבר

  • אבנר

    הערה קטנה

    כל הוכחות כאן לא הניחו את ההגדרה המלאה של מספרי פיבונאצ'י , למשל שהאיבר הראשון הוא 0 או 1. ולכן ההוכחה תופסת גם לכל 4 מספרים כאשר השניים האחרונים מקיימים את הגדרת הרקורסיה של מספרי פיבונאצ'י. למשל המספרים 10 7 3 4

  • אופיר

    פתרון נוסף

    נסמן לפי סדרת פיבונאצ'י:
    a1 = a
    a2 = b
    a3 = a+b
    a4 = a+2b מכאן צריך להוכיח (משפט פיתגורס):
    2b(a+b)]^2 + [a(a+2b)]^2 = [b^2+(a+b)^2]^2] נקבל:
    0=0 מ.ש.ל. חידה יפה, הקשר בין משפט פיתגורס לסדרת פיבונאצ'י מרתק ומיוחד

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • עפר

    חידה נהדרת

    כל-כך יפה לראות שני נושאים לכאוה לא קשורים מתחברים!

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    מסכימה איתך

    אחד הדברים היפים במתמטיקה זה לגלות איך הכל בכל זאת קשור ומתחבר.

  • אוהד ניר

    פתרון

    נבטא את הניצב הראשון בעזרת a0 ו- a1 בלבד:
    a1*a4=3*a1^2+2*a0*a1
    נבטא את הניצב השני בעזרת a0 ו- a1 בלבד:
    a2*a3*2=4*a1^2+6*a0*a1+2*a0^2 ולכן, הניצב הראשון בריבוע יהיה שווה ל:
    9*(a1^4)
    4*(a0^2*a1^2)+
    12*(a0*a1^3)+ והניצב השני בריבוע יהיה שווה ל-
    16*(a1^4)
    52*(a0^2*a1^2)+
    48*(a0*a1^3)+
    4*(a0^4)+
    24*(a0^3*a1)+ נחבר את שניהם ביחד ונקבל:
    25*(a1^4)
    56*(a0^2*a1^2)+
    60*(a0*a1^3)+
    4*(a0^4)+
    24*(a0^3*a1)+ וזה בעצם הריבוע של:
    5*(a1^2)
    2*(a0^2)+
    6*(a0*a1)+ כלומר, קיבלנו כי היתר שווה ל-
    5*(a1^2)
    2*(a0^2)+
    6*(a0*a1)+
    ומכיוון ש- a1 ו- a0 מספרים שלמים, ויש פה רק פעולות של הכפלה במספרים שלמים וחיבור בין מספרים שלמים, אז מקבלים שגם היתר צריך להיות מספר שלם.
    מ.ש.ל

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • אוהד ניר

    ועכשיו, אחרי שפתרתי, רציתי להגיד לכם שאפו - אחלה חידה !

    ממש הופתעתי מהקשר הפשוט והאלגנטי שקיים בין סדרת פיבונאצ'י לחלק מהשלשות הפיתגוריות.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    תודה! :)

    מסכימה איתך, הקשר באמת מפתיע ויפה..

  • אוהד ניר

    וקבלתי כי היתר של an שווה ל- an-1 בריבוע ועוד an-2 בריבוע

    וכמובן, שבבחירת a0,a1,a2,a3,a4 זה ללא הגבלת הכלליות, באותה המידה היה אפשר לבחור ב- an,an-1,an-2,an-3,an-4 כמו כן, לאחר קצת עבודה שעשיתי כדי לחזור חזרה מ- a0,a1 לאיברים גבוהים יותר, כמו a2,a3, ניתן לבטא את היתר של a4 גם באופן הבא, בעזרת איברים "גבוהים" יותר:
    a3^2+a2^2
    או באופן כללי, היתר של an שווה ל- an-1^2+an-2^2 כנראה שבדיעבד הייתי צריך מראש ללכת על האיברים a2,a3 ולא על a0,a1

  • אוהד ניר

  • אוהד ניר