אקראיות בכוונה תחילה

אנחנו גרועים בלייצר אקראיות. הסיבה לכך נטועה בגוף הטענה, תהליך ייצור האקראיות. דברים אקראיים קורים במקרה. אם מייצרים אותם בכוונה תחילה הם כבר לא אקראיים. אז מה אפשר לעשות כשאנחנו זקוקים למספרים אקראיים? 

תוצאה אקראית היא תוצאה שאי אפשר להסיק מראש, בוודאות מלאה, מה היא תהיה. מנקודת המבט הדטרמיניסטית של הפיזיקה הקלאסית, שבה לכל דבר יש גורם, אקראיות כזאת לא קיימת במציאות. אם נבין את כל החוקים המעורבים במצב מסוים, ונמדוד את כל המשתנים שהמצב תלוי בהם, נוכל לחזות את ההתרחשויות בוודאות ובדיוק. אפילו הפעולה שמסמלת עבורנו את המושג "אקראיות", הטלת מטבע, אינה אקראית. אם נדע את תנאי ההטלה המדויקים, את המצב ההתחלתי של המטבע ואת משוואות הכוחות שפועלים עליו בהטלה, נסיק תוצאה ודאית יחידה. עץ או פלי.

ובכל זאת תופעות עשויות להיראות לנו אקראיות, למשל כשהרבה מאוד משתנים משפיעים על התוצאה, כך שמבחינה מעשית איננו יכולים להתחשב בכולם. במקרים אחרים התוצאה יכולה להיות רגישה מאוד לתנודות קלות ביותר במשתנים שלה, עד כדי כך שכל אי-דיוק קל בנתונים שמפיק מכשיר המדידה שלנו – הסטופר, המשקל, הברומטר וכן הלאה – יוביל לתוצאה שונה מאוד. כך שאפילו אם כל המשוואות בידינו והן תמציתיות, ההסקה שלנו תסטה מהתוצאה שנקבל. כלומר, תופעות טבע יכולות להיראות אקראיות בגלל מגבלות החישוב שלנו או מגבלות הנתונים שבידינו, אבל טבען אינו אקראי באמת.

נקודת מבט אחרת היא של תורת הקוונטים, שמתייחסת לקני מידה קטנים במיוחד. בגבולות הקיצוניים האלה, שרחוקים מאוד מהמציאות היומיומית שאנחנו תופסים, פיזיקאים מייחסים לחלקיקים התנהגות הסתברותית במהותה. לדוגמה, איננו יכולים לדעת מתי אטום רדיואקטיבי יתפרק, אלא רק מה הסיכוי שהוא יתפרק בפרק זמן מסוים - ולא משנה עד כמה מדוייקים הנתונים שבידינו. כלומר בעולם הקוונטי קיימת אקראיות.

אפילו הפעולה שמסמלת עבורנו את המושג "אקראיות", הטלת מטבע, אינה אקראית. אדם מטיל מטבע | Shutterstock, Connect Images - Curated

אקראיות במבחן

אקראיות היא תכונה חמקמקה. למעשה, אי אפשר לקבוע בוודאות שסדרת אירועים מסוימת היא אקראית. אומנם סדרה אקראית לא תכיל תבניות, אבל העובדה שלא זיהינו תבנית לא מבטיחה לנו שהיא אינה קיימת. אולי לא ראינו מספיק מספרים מהסדרה כדי לזהות את התבנית?

גם במקרה שזיהינו תבנית עדיין איננו יכולים לטעון בוודאות שהסדרה שאנחנו רואים אינה אקראית. אם הטלנו מטבע והוא נפל עשר פעמים רצופות על עץ, נחשוד שהתוצאה אינה אקראית. אולם ההסתברות לקבל סדרה כזאת בהטלת אקראית של מטבע הוגן היא חצי בחזקת עשר, שזה בערך 0.0097 אחוז. סיכוי קטן אבל בכל זאת לא אפסי. סביר יותר להניח שהההטלה לא אקראית ושהמטבע נוטה ליפול על עץ, אבל זה לא ודאי. מבחינה מתמטית אי אפשר לקבוע בוודאות שקיים דפוס מתמשך בסדרות מספרים אינסופיות על סמך מספר סופי שלהם.

כשל המהמר הוא תופעה שבה מהמרים מזהים תבניות בסדרת הימורים, ומטים את ההימור שלהם בתגובה לתבנית. לדוגמה אם מכונת מזל הגרילה את המספר "2" כזוכה במשך חמישה משחקים רצופים, הם מניחים שלא יהיה סביר להניח שגם במשחק השישי יזכה "2" ולכן יעדיפו להמר על מספר אחר. בפועל, בהגרלה הוגנת התוצאות אינן תלויות זו בזו. למעשה כשהם מניחים שהתוצאות הקודמות ישפיעו על המשחק הבא הם בעצם מייחסים למכונה חוסר אקראיות.

בניסיון להתמודד עם תעתועים הסתברותיים כאלה, מתמטיקאיים מפתחים מדדים סטטיסטיים שמסייעים להעריך עד כמה סדרת מספרים קרובה לאקראיות.

הטלה הוגנת של קוביות תיצור סדרת אירועים שלא תלויים זה בזה. עם זאת, מהמרים נוטים להתבלבל ולייחס סיבתיות לקשר בין הגרלות נפרדות. מהמר מטיל קוביות | Shutterstock, serpeblu

"משימה חשובה מכדי שנשאיר אותה ליד המקרה"

אקראיות יכולה לשמש אמצעי לאכוף הוגנות – מספרים אקראיים משמשים בהגרלות ובמשחקים שבהם קיים מרכיב של מזל שנועד להבטיח סיכוי שווה לכל המשתתפים. אקראיות יכולה לתאר גם תהליכים בחיי היומיום ובטבע: תופעות שונות ומגוונות נלמדות בעזרת קירוב לתהליכים אקראיים, גם אם התופעה עצמה אינה אקראית בהכרח – למשל תנודות בשוק ההון או תנועת מולקולות בגז. בחקר תהליכים כאלה נעזרים בהדמיות ממוחשבות של תהליכים אקראיים, ולכן צריך לייצר סדרות אקראיות של אירועים שהמודל יוכל להתבסס עליהן.

אקראיות היא גם כלי יעיל לקיצור תהליכי חישוב. למשל, תהליך הערכת שיעור הצפייה בתוכנית טלוויזיה באוכלוסייה גדולה, על סמך מדגם מייצג כלשהו. דגימה של ערכים אקראיים צפויה להניב התפלגות אמינה של המצב באוכלוסיה גדולה מאוד גם עם כמות דגימות מצומצמת יחסית. 

אקראיות חיונית גם לאבטחת מידע. הגדרנו רצף אקראי כרצף שלא קיים מידע שיאפשר להסיק מהו: אם רצף מספרים או סיסמה נוצרים על ידי הגרלה בהסתברות זהה של סיסמה אחת מבין כל הסיסמאות האפשריות, אז לפורץ לא תהיה סיבה להעדיף אותה על פני שלל האפשרויות האחרות.

באופן דומה, מפתחות הצפנה נדרשים להיות בלתי ניתנים לחיזוי כדי להבטיח תעבורה בטוחה של מידע ושל תנועות פיננסיות. בשונה ממשחקים והדמיות לצורכי מחקר, היכולת לחזות מפתח שמשמש להגנה על מידע רגיש עלולה לעשות נזק של ממש. תארו לעצמכם מה היה קורה אילו יכולנו לחזות את הסיסמאות שגוגל מציעה ליצור עבורכם. 

אקראיות מעכבת ככל הניתן פיצוח מפתחות אבטחה. לא לחינם חלק מהשירותים דורשים שהסיסמה לא תכיל את שם המשתמש, המטרה היא להרחיק ממנה כל פרט שאפשר לחזות. בדיקה של חוזק הסיסמה | Shutterstock, StudioGraphic

לייצר את מה שאי אפשר להסיק

"מי שמנסה לייצר מספר אקראי באמצעים דטרמיניסטיים חי בחטא", טען המדען ג'ון פון נוימן (von Neumann), מאבות המחשב האלקטרוני. מחשבים הם מכונות שמבצעות פעולות על פי סדר מוגדר. תוכנות מחשב נכתבות כך שפעולה אחת גוררת פעולה אחרת בהתאם לכללים מוכתבים מראש. כלומר, כשמבקשים ממחשב ליצור מספר אקראי, קיימת בהכרח תבנית שעל פיה המספר נוצר. ואם התבנית הזאת קיימת, התוצאה אינה אקראית ואפשר לנסות לפענח אותה.

בעזרת תוכנית מחשב אפשר לנסח מחולל מספרים פסדואו-אקראי (אקראיות מדומה), שמנפק רצף מספרים שתכונותיו מדמות אקראיות. לשם כך התבנית העומדת מאחורי הסדרה צריכה להיות סבוכה מדי לזיהוי, והתפלגות הופעת המספרים בה תהיה כמה שיותר אחידה, כך ששום מספר יקבל עדיפות על פני אחרים.

דוגמה למחולל כזה היא תוכנית שמשתמשת במספר התחלתי המכונה "גרעין" (seed), מבצעת עליו שורת פעולות של הכפלה, חיבור ומציאת שארית בעזרת מספרים מוגדרים מראש ופולטת את המספר ה"אקראי" הראשון. המספר הזה נבדל מהגרעין הראשוני באופן שקשה לזהות כתבנית. כעת המספר החדש יהיה הגרעין שעליו יתבסס המספר הבא. כך נוצר רצף שקשה לזהות איך הוא הופק. הבעיה היא שמחוללים כאלה נכנסים למחזוריות אחרי מספר סבבים, מכיוון שבמוקדם או במאוחר הגרעין החדש שייווצר יהיה זהה לאחד המספרים הקודמים, ומרגע זה והלאה הסבב יחזור על עצמו שוב ושוב.

קונסולת המשחקים פלייסטיישן 3 נפרצה בעבר מאחר שבשלב שבו אמור היה להיווצר מפתח אקראי, נוצר המפתח הכי לא אקראי שיכול להיות – אותו מספר קבוע שוב ושוב. ארנקי ביטקוין נמצאו בסיכון בגלל שימוש לקוי במחולל מספרים פסאודו-אקראי. גם נתבי אינטרנט הותקפו בגלל "אקראיות חלשה" בתהליכי האבטחה בהם.

התבנית בתמונה נראית אקראית במבט ראשון, אבל אפשר לזהות בה דפוס חוזר | Shutterstock, Dedraw Studio

לקבל השראה מהטבע

אי אפשר ליצור אקראיות אמיתית בעזרת פעולות מוכתבות מראש. עם זאת, נראה שהטבע מספק שלל תופעות שאנו יכולים להיעזר בהן כדי לדגום אקראיות.

בפיזיקה, "רעש" הוא מושג שמתאר תופעות שיוצרות תנודות רבות שאי אפשר לזהות בהן סדר או תבנית. רעש אטמוספרי הוא תנודות של גלים אלקטרומגנטיים בטווח גלי הרדיו שמקורם בתהליכים אטמוספריים, כמו למשל פריקות של ברקים מעננים. השילוב של גלים רבים משלל מקורות יוצר ביחד תנודות מהירות שנראות אקראיות. רעש תרמי נובע מתנודות של חלקיקים הנושאים מטען חשמלי במוליכים. רעשים כאלה נובעים מפרטים רבים שמשתתפים ביצירת הרעש וכל שינוי בהתנהגות של פרט תשנה את מבנה הרעש הכולל. אין בידינו כיום כלים מתמטיים שמאפשרים להסיק את התמונה המלאה של הרעש, בגלל המורכבות הרבה של התופעות הללו והרגישות שלהן לשינויים קטנים. לכן אפשר לדגום רעשים כאלה במועדים שונים ולתרגם את המצבים שדגמנו למספרים כדי לקבל מספרים כמעט אקראיים. 

הרגישות של הרעש לשינויים קלים היא תכונה כאוטית. תופעות כאוטיות רגישות מאוד לשינויים, כלומר שינוי זעיר באחד התנאים המשפיעים על מערכת כאוטית גורר הבדל משמעותי בחלוף הזמן. הרגישות שעלולה לשנות את התוצאה באופן דרמטי מכונה "אפקט הפרפר" – כינוי ציורי שמתאר מצב שבו משק כנפיו של פרפר עשוי להוביל עם הזמן לסופה. למרות הרגישות הזאת, אפשר לפעמים לתאר תופעות כאלה באמצעות משוואה תמציתית ונוחה לשימוש.

קשה מאוד לחזות איך המצב של מערכות כאוטיות ישתנה עם הזמן אם איננו יודעים בדיוק את כל המשתנים שמשפיעים עליהן, מפני שכל סטייה קלה בהערכת המשתנים שמשפיעים על המערכת משנה מאוד את התוצאה הסופית. לכן, כשאנו רוצים לקבל מספר אקראי, אנחנו יכולים לדגום לפרקים את מצבה של מערכת כאוטית. בין דגימה לדגימה, אם הפרשי הזמנים ארוכים מספיק, המערכת הכאוטית מתנהגת באופן בלתי ניתן לחיזוי ולכן יוצרת מראית עין של אקראיות. בפועל היא אינה אקראית, אלא רק בלתי ניתנת לחיזוי בכלים שיש לנו היום.

מערכות כאוטיות כאלה נמצאות סביבנו כל הזמן. אפילו מנורות לבה, אותו גוף תאורה נוסטלגי, יכולות לשמש מקור דגימה כאוטי לצורך אבטחת תעבורת המידע ברשת מחשבים. באחד היישומים הציבו מול מצלמה מערך של כמאה מנורות לבה, והבועות הצבעוניות שנעות לאיטן ברחבי גופי המנורות יצרו תמונה שמשתנה בלי הרף. מדי פעם צילמו את מערך המנורות וקיבלו תמונת מצב שאין דרך מעשית לחזות. את התמונה, שהיא בסך הכול אוסף נקודות בבהירויות משתנות, המירו למספרים וקיבלו מפתח שנראה אקראי.

תמיד אפשר גם לחזור למקורות: הקובייה ההוגנת. אם נטיל שוב ושוב קובייה באופן הוגן, הפאות שהיא תנחת עליהן יספקו סדרות של מספרים בין 1 ל-6. אומנם מדובר בתהליך איטי מאוד ולא יעיל ליצירת מספרים אקראיים, אבל הוא נוח לעיסוק הרעיוני בשאלת האקראיות. בפרויקט "מספרים איטיים" חיפש האמן ניקולס סיינין (Sanín) דרכים יצירתיות להטיל קובייה באופן אוטומטי. לשם כך הוא חיבר מיכל לערבוב קוביות לגיטרה חשמלית, כדי שתנודות המיתרים שלה ירעידו את המיכל ויסובבו את הקובייה. קיבלנו מערכת כאוטית שיוצרת מראית עין של אקראיות.

התנועה המהפנטת של מנורות לבה שימשה לדגימת מצבים אקראיים. מנורות לבה בצבעים שונים | Shutterstock, Dietrich Leppert

אקראיות קוונטית

עד כה הצגנו שימוש במורכבות שנראית אקראית אף שאינה באמת כזאת. דרך אחרת היא לנצל את האקראיות האמיתית של תורת הקוונטים. מכניקת הקוונטים מתייחסת לחלקיקים קטנים שמתנהגים באופן הסתברותי, כלומר אי אפשר לחזות במדויק את התנהגות החלקיקים, אלא רק את ההסתברות לאירועים מסוימים. הטענה הזאת קוממה את אלברט אינשטיין עד כדי כך שהוא אמר בנוגע אליה, "אלוהים לא משחק בקוביות". 

ההתנהגות הקוונטית של פוטונים – חלקיקי אור – משמשת לדגימת מצבים אקראיים אמיתיים. גם בדעיכה רדיואקטיבית, כלומר ההתפרקות של אטומים לא יציבים ליסודות קלים יותר, הפרשי הזמנים בין התפרקויות עוקבות בתוך חומר רדיואקטיבי הם אקראיים. אין לנו משוואה שאומרת מתי יתרחש האירוע הבא, אלא רק מה הסיכוי שבפרק זמן מסוים מאז ההתפרקות הקודמת תקרה התפרקות נוספת. את הפרשי הזמנים האלה אפשר לדגום כדי לקבל מספר אקראי.

התנהגות קוונטית נגישה גם בסביבתנו היומיומית. בננות, שמכילות אשלגן, יכולות לשמש מקור רדיואקטיבי לדגימה אקראית. שיעור זעיר מהאשלגן בבננה הוא רדיואקטיבי (וזו בהחלט לא סיבה להתרחק מהן. הסוכנות להגנת הסביבה בארצות הברית מבהירה שנאלץ לזלול כמאה בננות על מנת לספוג קרינה רדיואקטיבית ברמה ששווה לסף הקרינה הטבעית שאנו נחפשים אליה ביום אחד). אפשר למדוד את הדעיכה הרדיואקטיבית בבננה באמצעות שפופרת גייגר-מילר למדידת קרינה, וליצור בעזרת המדידה מספרים אקראיים.

אקראיות או מגבלת ידע?

אקראיות היא מושג מתעתע אך גם חשוב ושימושי במיוחד. היא מאתגרת את תפיסת המציאות שלנו, שמבוססת על המציאות המוכרת לנו, שבה לכל תופעה יש גורם. כשתורת הקוונטים נכנסה לתמונה גדולי הפיזיקאים התווכחו אם תיתכן התנהגות אקראית באמת, או שרק חסר לנו מידע וברגע שנדע אותו נוכל ליישב את כל התצפיות. הוויכוח הזה נוסח באופן מתמטי-תיאורטי במאה הקודמת ויושב סופית בניסוי רק לפני כעשור, כשנמצא שבעולם הקוונטי אכן קיימת אקראיות אמיתית.

האקראיות מתעתעת גם מכיוון שאין בידינו כלים מתמטיים להוכיח או להפריך בוודאות שסדרת מספרים כלשהי היא אקראית. ובכל זאת, האקראיות היא כלי שימושי שאנחנו מסתמכים עליו ביישומים רבים באופן יומיומי.