הבעיה שנפתרה
אחרי 250 שנה

בין ההשערות המתמטיות שהוכחו בעשור הקודם בלטה ההוכחה של הגרסה החלשה של השערת גולדבך. ייחודה הוא בכך שהיא הייתה סבוכה דיה כדי להישאר פתוחה במשך יותר מ-250 שנה, אך גם פשוטה ואינטואיטיבית מספיק כדי שכמעט כל אחד יוכל להבין את הבעיה.

מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו, ואין לו מחלקים אחרים. 1 אינו נחשב ראשוני בעצמו. המספרים הראשוניים הקטנים ביותר הם 2, 3, 5, 7, 11, ו-13. כל המספרים הראשוניים פרט ל-2 הם אי-זוגיים, שכן הזוגיים כולם מתחלקים גם ב-2 ולכן אינם יכולים להיות ראשוניים. כבר לפני 2,300 שנה הוכיח המתמטיקאי היווני אוקלידס שיש אינסוף מספרים ראשוניים.

אחת התכונות החשובות במספרים ראשוניים היא שכל מספר שלם חיובי (מספר טבעי) אפשר לכתוב כמכפלה אחת ויחידה של ראשוניים, בהנחה שאין חשיבות לסדר ההכפלות. התופעה הזאת מוכרת גם בתור המשפט היסודי של האריתמטיקה. לדוגמה, את 12 אפשר לבטא באמצעות כמה מכפלות שונות, כגון 4*3, או 6*2, אבל 4 ו-6 אינם ראשוניים. הדרך היחידה לכתוב אותו כמכפלה של ראשוניים בלבד היא 2*2*3. 

בזכות התכונה הזאת המספרים הראשוניים נחשבים ל"אבני הבניין" שמהן מורכבים כל שאר המספרים הטבעיים. אומנם ב-2,300 השנים שחלפו מאז אוקלידס המתמטיקה עברה כברת דרך רצינית ואנחנו יודעים כיום דברים רבים מאוד על הראשוניים, אך עדיין נותרו השערות רבות שלא הוכחו, ובמבט ראשון רבות מהן נראות פשוטות למדי לניסוח.

השערה חזקה וחלשה

אחת ההשערות היותר מפורסמות היא השערת גולדבך, שקובעת כי כל מספר זוגי החל מ-4 הוא סכום של שני ראשוניים. במספרים קטנים קל לראות שההשערה מתקיימת: למשל, 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3 וכן הלאה. לפעמים אפשר לבטא כך את המספר בכמה דרכים שונות: למשל 10=5+5. 

האזכור המוקדם ביותר הידוע של ההשערה הוא בהתכתבות בין המתמטיקאי כריסטיאן גולדבך לגדול המתמטיקאים של התקופה, לאונרד אוֹיְלֶר (Euler) בשנת 1742, לפני כ-280 שנה. אוילר השיב כי הוא משוכנע שההשערה נכונה אבל אינו יכול להוכיח אותה. מאז היא נותרה פתוחה והתפרסמה כהשערת גולדבך.

בתכתובת המקורית בין גולדבך ואוילר הופיעה גם גרסה קצת יותר פשוטה של ההשערה, שמכונה "השערת גולדבך החלשה". היא טוענת שכל מספר אי-זוגי מ-7 והלאה הוא סכום של שלושה ראשוניים. כדי להבין מדוע היא נקראת חלשה, מספיק לציין שאם נקבע שאחד מהראשוניים הללו חייב להיות המספר 3, נקבל את ההשערה החזקה.

מדוע זה כך? אם נניח שתמיד נוכל לרשום מספר אי-זוגי מסוים (X) כסכום של שלושה ראשוניים שאחד מהם הוא 3, נובע מכך בהכרח שהמספר הזוגי X-3 הוא סכום של שני ראשוניים, וזוהי השערת גולדבך החזקה. באופן דומה, אם נוכל לרשום כל זוגי הגדול או שווה ל-4 כסכום של שני ראשוניים, נוכל תמיד להוסיף 3 לסכום הזה ולקבל מספר אי-זוגי הגדול או שווה ל-7. כך שההשערה החלשה, שמאפשרת שלושה ראשוניים כלשהם שאינם בהכרח 3, היא בעיה קלה יותר, וגם נובעת מההשערה החזקה.

גרסה פשוטה וגרסה מורכבת. קטע מהמכתב של גולדבך לאוילר העוסק בהשערה המפורסמת | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

החיפוש מתחיל

לאורך השנים ניסו מתמטיקאים רבים להתקדם בפתרון שתי הבעיות. נעשו גם ניסיונות רבים לבדוק את נכונותן באופן ניסויי, על ידי חיפוש מספרים זוגיים שאי אפשר לכתוב כסכום של שני ראשוניים, או אי-זוגיים שאי אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. ב-1938 נבדקה השערת גולדבך החזקה באופן ידני עד 100,000 ואומתה. עידן המחשב קידם באופן משמעותי את החיפוש, וכיום ידוע שההשערה נכונה לכל מספר זוגי הקטן מ-10¹⁸*4, כלומר ארבעה מיליארד מיליארד. 

בהתאם לכך, גם ההשערה החלשה נכונה עבור מספרים אי-זוגיים עד למספר זה. למעשה, החיפוש הראה גם שבדרך כלל יש חלוקות רבות של שני מספרים ראשוניים שיכולים להרכיב מספר זוגי, ושבממוצע ככל שהמספר גדול יותר כך יש חלוקות רבות יותר שלו לסכום של שני ראשוניים. הממצאים האלה העניקו תמיכה לסברה כי ההשערה נכונה, אך אין בהם משום הוכחה: אחרי הכול, יש אינסוף מספרים זוגיים, ועדיין ייתכן שמסתתר אי שם מספר זוגי שאי אפשר לכתוב אותו כסכום כזה. 

בתורת המספרים מוכרות דוגמאות לא מעטות להשערות שנראות נכונות כשבודקים מספרים קטנים, אך יש להן דוגמאות סותרות אי שם בין המספרים הגדולים מאוד. בדיקה ישירה של מספרים, אפילו עם מחשב מהיר ומשוכלל, תכסה תמיד רק נתח סופי וקטן מתוך אינסוף המספרים הטבעיים, כך שאי אפשר לשלול באמצעותה את האפשרות שקיימת דוגמה סותרת כלשהי.

אחת הסיבות לקושי הרב בהוכחת ההשערות הללו היא שהמספרים הראשוניים הם אומנם, במובן מסוים, אבני הבניין שמהן מורכבים שאר המספרים, אך הבנייה הזאת מבוססת על פעולת הכפל. ההתנהגות של מספרים ראשוניים כשמחברים אותם, ולא מכפילים, היא דבר הרבה יותר מסובך, שנחקר כחלק מתחום תורת המספרים החיבורית (האדיטיבית), ענף מתקדם במתמטיקה העושה שימוש בכלים מסובכים למדי.

אבני הבניין. דיאגרמת פירמידה הממחישה כי המספרים הזוגיים עד 50 הם סכום של מספרים ראשוניים | איור: Adam Cunningham and John Ringland, Wikipedia

לקראת פתרון הגרסה החלשה

אף על פי שהן נראות דומות למדי, הגרסה החלשה קלה יותר באופן משמעותי, והושגה בפתרונה הרבה יותר התקדמות לאורך השנים. הסיבה העיקרית להבדל היא שהטכניקות המתמטיות העיקריות שפותחו במאה ה-20 לטיפול בבעיות כאלה, פועלות עליה הרבה יותר ביעילות.

כבר ב-1923 הוכח שההשערה החלשה נכונה לכל מספר אי זוגי גדול מספיק בהינתן השערת רימן המוכללת. למה הכוונה? ההוכחה מראה כי קיים מספר סופי כלשהו (אך אינה מציינת מהו) שכל מספר אי-זוגי הגדול ממנו אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. ההוכחה גם מראה שיש מספר סופי של יוצאי דופן, אך לא קובעת מהו המספר הסופי הזה. זה כמובן לא מספיק, כי ההשערה המקורית ביקשה להראות שמספר יוצאי הדופן אינו רק סופי אלא הוא אפס. עם זאת, גם הוכחה-בתנאי נחשבת להישג לא קטן. ההוכחה הזאת, של צמד המתמטיקאים הבריטים גודפרי הארדי (Hardy) וג'ון ליטלווד (Littlewood), התבססה כאמור על בעיה מתמטית אחרת הקרויה השערת רימן המוכללת, ולא נוכל להיכנס כאן לעומקה.

ההתקדמות המשמעותית הבאה הגיעה כעבור 14 שנה, כשהמתמטיקאי הרוסי איוון וינוגרדוב (Vinogradov) הצליח להראות אותו דבר גם בלי השערת רימן המוכללת, ולכן הראה שכמעט כל מספר אי-זוגי מ-7 ומעלה יכול להיכתב כסכום של שלושה ראשוניים. וינוגרדוב לא הצליח לאמוד את מספרם המרבי של יוצאי הדופן המשוערים הללו – ההוכחה שלו לא נתנה מספר ספציפי ואמרה שכל אי-זוגי שגדול יותר ממנו הוא סכום של שלושה ראשוניים.

בשנים הבאות ההוכחה שופרה ונקבע ערך מפורש עבור חסם שכזה. לכאורה, בכך סיימנו את הוכחת ההשערה, כי אפשר לבדוק את כל המספרים האי-זוגיים עד אותו חסם תחתון. אם יימצא שאפשר להציג את כולם כסכום של שלושה ראשוניים, אזי אפשר לעשות את זה לכל מספר אי-זוגי, שכן מעל לחסם הזה כבר ההשערה כבר הוכחה. הבעיה היא שכל החסמים התחתונים שנמצאו היו מספרים גדולים מאוד, עצומים: במקור היה מדובר במספר של מיליוני ספרות. עם השנים הצליחו להקטין אותו, אולם גם לחסם הנמוך ביותר שנמצא היו עדיין 1,347 ספרות - הרבה יותר מסכום כל החלקיקים ביקום. אפילו מחשב-על לא יוכל לבדוק את כל המקרים הפרטיים הללו.

ב-1997 חלה התקדמות משמעותית נוספת: המתמטיקאים ז'אן-מרק דֶה-וִוייֶה (Deshuillers), גוב אפינגר (Effinger), הרמן טה ריילה (te Riele) ודמיטרי זינובייב (Zinoviev) הצליחו להוכיח את השערת גולדבך החלשה, אך נשענו על השערה נוספת. ההוכחה התבססה על הקטנת החסם לערך נמוך מספיק, כך שהיה אפשר להשלים את הבדיקה באמצעות מחשב, אך ההקטנה הזאת דרשה שימוש בהשערת רימן המוכללת. בשנים הבאות הוכח גם כי כל מספר אי-זוגי הוא סכום של חמישה מספרים ראשוניים לכל היותר. אולם הוכחה מלאה לכך שכל מספר אי-זוגי מ-7 ומעלה הוא סכום של שלושה ראשוניים עדיין לא הושגה.

הישג לא קטן, אך מבוסס על השערה נוספת שטרם הוכחה. הרדי (מימין) וליטלווד | מקור: Alchetron, ויקיפדיה, נחלת הכלל

פריצת הדרך של הלפגוט

בסופו של דבר, בשנים 2012 ו-2013 הצליח המתמטיקאי הפרואני הראלד הלפגוט (Helfgott) להוכיח בסדרת מאמרים את ההשערה באופן סופי ובלי להסתמך על בעיה מתמטית פתוחה אחרת. ההוכחה משתרעת על פני כמה מאות עמודים, ולא נוכל להיכנס כאן לעומק הכלים המתמטיים שבהם היא משתמשת. הלפגוט השתמש באותן טכניקות שהשיגו את התוצאות הקודמות שתיארנו, אבל שיכלל אותן כדי להוריד את החסם לערך נמוך מספיק שמחשב יוכל לבדוק.

בהוכחה שלו הוא חילק את המספרים האי-זוגיים לשניים: עד לקבוע מסוים, שהוא בערך מאה מיליארד מיליארד מיליארדים (10²⁹), יש לבדוק במחשב ולהוכיח שהם תמיד סכום של שלושה ראשוניים. גם זה עדיין מספר גדול מאוד, והלפגוט נעזר בטכניקות מתקדמות כדי לפסול את האפשרות שקיימת בטווח הזה דוגמה נגדית להשערה. 

מעל הקבוע הזה ההוכחה מראה שתמיד אפשר לרשום כל מספר אי-זוגי כסכום של שלושה ראשוניים. הכלים ששימשו להוכחה הזאת מתבססים על העובדה שאלו מספרים גדולים עם הרבה מאוד ראשוניים הקטנים מהם. כך טופלו כל המספרים האי-זוגיים, והוכחה השערת גולדבך החלשה.

הוכחה של כמה מאות עמודים, אבל אינה מסתמכת על בעיה פתוח אחרת. הראלד הלפגוט | צילום: Humboldt Foundation/Sven Müller

ומה הלאה?

השערת גולדבך החזקה עדיין פתוחה והושגה הרבה פחות התקדמות בפתרונה. הוכח שאם קיימים יוצאי דופן, הם נדירים מאוד. עם זאת, עד כה לא הצליחו להוכיח אפילו שיש לכל היותר מספר סופי של זוגיים שאינם סכום של שני ראשוניים.

ההוכחה של השערת גולדבך החלשה מראה גם כי כל מספר זוגי החל מ-10 הוא סכום של ארבעה ראשוניים: פשוט נחסיר ממנו 3 ונקבל אי זוגי הגדול מ-7, שאפשר לרשום אותו כסכום של שלושה ראשוניים לפי הגרסה החלשה. וכמובן ברור שהמספרים 4, 6 ו-8 מקיימים את ההשערה. 

יש גם גרסאות חזקות יותר של ההשערה החלשה: למשל זאת שאומרת שלא רק שכל מספר אי-זוגי הוא סכום של שלושה ראשוניים, אלא גם תמיד אפשר למצוא סכום כזה שבו שניים משלושת הראשוניים זהים זה לזה. זו עדיין בעיה פתוחה, שהועלתה לפני כ-120 שנה. השערה אחרת מהמאה ה-19 היא שכל מספר זוגי הוא הפרש של שני ראשוניים אינסוף פעמים. מקובל לחשוב שזה נכון לכל מספר זוגי, אך עד כה הדבר לא הוכח לשום מספר זוגי – אפילו לא 2. 

האם ההוכחה הזו היא פריצת דרך מתמטית משמעותית? אין ספק שמדובר בהישג מרשים, אך השערת גולדבך נודעה בעיקר בזכות פשטותה, ולא נראה שחשיבותה המתמטית מרחיקת לכת. ההוכחה גם אינה מעידה בהכרח שהשערות דומות יוכחו אף הן בעתיד הנראה לעין. רוב המתמטיקאים מסכימים שהכלים הקיימים אינם חזקים מספיק להוכחת השערת גולדבך החזקה, למשל.

עם זאת, המתמטיקה לא חייבת להיות שימושית והיא נחקרת כדי להרחיב את הידע והסקרנות האנושיים. מעבר לכך, גם אם כעת איננו רואים השלכות מעשיות מיידיות להוכחה הזאת, אולי בעתיד המצב ישתנה. המון בעיות מתמטיות נותרו פתוחות בתורת המספרים. מי מהן תהיה הבאה שתיפתר?

סרטון של קרן פון הומבולדט על הראלד הפלגוט ועבודתו (באנגלית):