כמה חורים יש
בקשית שתייה?

אף על פי שהקיץ כבר עבר, תמיד חשוב לשתות מים. חלקנו נסתפק בכוס מי ברז פשוטים, ואחרים יתפנקו יותר וימזגו משקה מתוק וצונן. אולי בכוס גבוהה עם קרח, אולי עם מטרייה צבעונית לקישוט ואולי קשית שתייה. אחרי שנרווה את הצימאון נשאל את השאלות החשובות באמת: כמה חורים יש בכוס? וכמה יש בקשית? 

כמה חורים יש בכוס, וכמה בקשית? לא כל כך פשוט. כוס וקשית | Charlie Waradee, Shutterstock

לכאורה נראה שהתשובה אמורה להיות פשוטה. ובכל זאת הדעות חלוקות: יש מי שטוענים שבקשית יש חור אחד, יש הטוענים כי יש בה שני חורים, אחד בכל קצה, ויש אפילו כאלה שסבורים שאין בה בכלל חורים.

לפי הגישה האחרונה, קשית היא בסך הכול יריעה שטוחה בצורת מלבן שגלגלנו עד ששתי צלעותיו נפגשו ונוצר גליל. ביריעה המלבנית ההתחלתית לא היה חור ולכן הוא לא נוצר יש מאין אחרי שגלגלנו את היריעה והיא הפכה לגליל. אך הטיעון אינו מדויק, כיוון שחיבור השוליים הנפרדים הוא פעולה משמעותית שמשנה באופן מהותי את צורת הגוף הגיאומטרי. 

גליל נוצר מתוך גלגול של יריעה מלבנית | Lemonsoup14, Shutterstock

שתי הגישות הנותרות גורסות כך: אלה שדוגלים בהסבר שני החורים טוענים שלקשית יש חור אחד בכל אחד משני קצותיה. והאחרונים טוענים שבקשית שתייה יש חור אחד, שמתחיל בקצה אחד של הקשית ומסתיים בקצה השני שלה.

כשבגרוש היה חור 

מהו חור בעצם? לפי מילון האקדמיה ללשון העברית, חֹור הוא "פתח ריק, נקב". ומה לגבי כוס, האם פתח של כוס הוא חור? האם זה אותו חור כמו זה שבקשית ובכל גליל אחר? נראה שההגדרה הלשונית אינה חופפת את ההגדרה המתמטית.

ההתייחסות המתמטית לחורים שייכת לענף הטופולוגיה. טופולוגיה היא תחום שהחל להתפתח במאה ה-18 מתוך בעיות שהגיאומטריה נמנעה מלעסוק בהן. גם נקודת המבט היא אחרת. לדוגמה, הגיאומטריה מתייחסת לעצמים כמו כדור וקובייה בתור עצמים נבדלים, בין השאר מכיוון שיש להם מספר פאות שונה, אך הטופולוגיה רואה בהם עצמים שקולים.

כדור וקובייה. מה מבדיל ביניהם? תלוי אם שואלים את הגיאומטריה או את הטופולוגיה | Grafithink, Shutterstock

שני עצמים הם שקולים (הומאומורפיים) זה לזה, אם אפשר לעוות אחד מהם, למתוח ולכווץ חלקים שלו, כך שיקבל את צורת השני בלי להפריד או לחבר חלקים שלא היו מחוברים בעצם המקורי. למשל, אפשר לנפח קובייה כך שתהפוך לכדור, ולהפך, אבל אי אפשר להפוך כדור לחישוק בלי לקרוע את הכדור במרכזו או למתוח אותו לגליל ולחבר את שני קצותיו כך שייווצר חישוק.

כדור וחישוק אינם שקולים זה לזה בראייה טופולוגית | SkillUp, Shutterstock

בשתי צורות ששקולות זו לזו יהיה אותו מספר חורים. בכדור אין חורים. בעזרת מעיכה נקודתית נוכל ליצור שקע בכדור פלסטלינה, בלי לקרוע אותו. הכדור עם השקע דומה לכוס, כי השקע יכול להכיל נוזל. אם נגדיל את השקע בלי לקרוע את הפלסטלינה ובלי לחבר זו לזו נקודות שלא היו מחוברות בכדור המקורי, זו עדיין תישאר כוס. נוכל לשטח את הכוס לדיסק שגם בו אין חור. מכאן נובע שהפתח שבחלקה העליון של הכוס אינו חור מנקודת מבט טופולוגית.

מבחינת טופולוגית, כדור שקול לכוס ולמטבע | SkillUp, Shutterstock

באופן דומה אפשר למעוך גליל, כמו צינור, מקצה לקצה, עד שיקבל צורה של טבעת. בטבעת יש חור יחיד שהטבעת מקיפה אותו, ולכן גם בקשית שתייה יש חור אחד בלבד. תוכלו לשחק בהדגמה שעוזרת לפתור שאלה קשה לא פחות: כמה חורים יש במכנסיים?

על פי ההגדרה הטופולוגית, חור הוא מבנה שמונע מצורה להתכווץ לנקודה. את הכדור נוכל לכווץ עד שיהפוך לנקודה, לעומת טבעת - ככל שתתכווץ, עדיין יהיה בה חור, ולכן היא לא תוכל להתכווץ לנקודה.

אפשר למעוך גליל עד שיקבל צורה של טבעת | ruwais creative, Kate Kalmykova, Shutterstock

המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19 ברנהרד רימן (Riemann) הציע שיטה אינטואיטיבית לספירת החורים בצורה. מספר החורים בצורה שווה למספר החיתוכים שאפשר ליצור בה בלי להפריד אותה לשני חלקים. כל חיתוך של כדור יפריד אותו לשני חלקים. לכן מספר החיתוכים שאפשר לבצע לפני שנפריד את הכדור לשני חלקים הוא 0, כמספר החורים שבו. את קשית השתייה, שהיא גליל, נוכל לחתוך לאורכה, כך שתיפתח למלבן בלי להתחלק לשניים. רק חיתוך נוסף יפריד אותה לשניים. כך, לפי השיטה של רימן, לקשית יש חור אחד.

חיתוך לאורך הגליל לא יחלק אותו לשני חלקים. רק חיתוך נוסף יפריד את הצורה לשניים | ruwais creative, Shutterstock

הכול בגלל חור קטן

מתמטיקאים הראו ששינוי מספר החורים בצורה משנה תכונות בסיסיות שלה. בשנת 1758 ניסח המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר (Euler) כלל, שבהמשך כונה מאפיין אוילר, המתואר באמצעות הנוסחה V-E+F=2. בנוסחה, V הוא מספר הקודקודים בצורה, E הוא מספר הצלעות, ו-F הוא מספר הפאות. נמתח קו בין כל שתי נקודות על הפאון, שהוא העצם בעל הפאות. אם הקו יימצא תמיד בתוך הפאון, זהו פאון קמור. קובייה היא פאון קמור, וכך גם כמעט כל פאון משוכלל, שהוא פאון שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים, ואם נחתוך את הפאון מסביב לכל קודקוד באמצע המקצועות הנפגשים בו, הצורה שתתקבל היא גם מצולע משוכלל. עם זאת, פאון מכוכב אינו קמור, מאחר שאף על פי שהוא פאון משוכלל, חלק מהקווים שחוצים אותו אינם נמצאים בתוכו, אלא חיצוניים לו. אוילר מצא שבכל פאון קמור, סכום הקודקודים פחות סכום הצלעות ועוד סכום הפאות שווה תמיד 2. לדוגמה, בקובייה יש 8 קודקודים, 12 צלעות ו-6 פאות. 2=8-12+6.

משמאל לימין: הארבעון, הקובייה, התמניון, התריסרון, העשרימון והפאון המכוכב הם פאונים משוכללים. בשונה מכל האחרים, הפאון המכוכב אינו קמור | Lostefx, Shutterstock

בהמשך הנוסחה שוכללה, ונמצאו מאפייני אוילר שונים עבור צורות שאינן פאון קמור.

אפשר לשנות את מאפיין אוילר של הצורה. למשל, להוסיף חורים לצורה. ניקח קובייה, שכבר ראינו שמאפיין אוילר שלה שווה 2, וניצור בה חור על ידי הורדת שתי פאות מקבילות. הצורה הזו שקולה לקשית. יש בה 8 קודקודים, 12 צלעות, ו-4 פאות, כך שמאפיין אוילר שלה הוא 0=8-12+4. הוספת החור שינתה את מאפיין אוילר מ-2 ל-0. 

קובייה שהוספנו לה חור על ידי הורדת שתי פאות מקבילות | Gagnar, Shutterstock

כעת, אחרי שהכרנו במורכבות של הטופולוגיה ובחשיבותם של חורים, נוכל להתרווח ולהתרענן עם משקה מהכוס חסרת החורים שבידנו, דרך קשית ובה חור יחיד.