שלום יוסי.
החוק הוא כדלקמן: לוקחים את המספר, מחברים את כל הספרות במקומות הזוגיים במספר - מקבלים תוצאה שנקרא לה סכום "א". מחברים את כל הספרות במקומות האי-זוגיים במספר - מקבלים תוצאה שנקרא לה סכום "ב".
מפחיתים את סכום א מסכום ב (או הפוך אם זה יוצא מספר שלילי) - אם התוצאה מתחלקת ב-11, אזי כל המספר מתחלק ב-11!
דוגמא: המספר 54315413
5+3+5+1=14
4+1+4+3=12
14-12=2
2 לא מתחלק ב-11 ולכן המספר כולו לא מתחלק ב-11.
דוגמה נוספת: 86420917
8+4+0+1=13
6+2+9+7=24
24-13=11
11 מתחלק ב-11 ולכן כל המספר מתחלק ב-11.
ולשאלה למה זה נכון:
בצורת הכתיבה המקובלת, אנו משתמשים בבסיס העשרוני, הכולל את הספרות 0-9. כל מספר ניתן לייצוג על ידי סכום של מקדמים וחזקות של עשר לפי הצורה הבאה:
a=(a)10=an10n+ an-110n-1 +…+ a110+a0
כאשר המקדמים a1-an הם מספרים שלמים. לדוגמא:
1678= 1x103+ 6x102 + 7x10+8
כדי להוכיח את חוק החלוקה, נצטרך להשתמש ב"חשבון שאריות" (מודולו), זהו סוג של חשבון הכולל את שלוש הפעולות הבסיסיות חיבור חיסור וכפל. (על מנת שיכלול חילוק יש צורך בתנאים נוספים). בחשבון כזה יש רק מספר סופי של איברים (הבסיס), וכל מספר שלם מוחף בשארית החלוקה באותו מספר. דוגמא לכך היא חישוב הפרשי שעות- אם עכשיו השעה 20:00, בעוד תשע שעות השעה תהיה
20+9 =29=5(mod24).
קל לראות, שמספר המתחלק בבסיס החישוב, ייתן שארית אפס.
חשבון השאריות מקיים את כללי הכפל והחילוק לפי הכלל:
אם a=b(mod n) וגם c=d(mod n)אז a+c =(b+d) (mod n), וכן ac=bd(mod n). כעת, אם נרצה לבדוק שמספר מתחלק ב-11, אז השארית שלו בחלוקה ב-11 תהיה אפס, כלומר a(mod 11)=0.
כל מספר b מתחלק בעצמו, ולכן b(mod b)=0, ומכאן שגם
(mod [b+1])(b+1) =0.
נעביר אגפים ונקבל:
b = -1(mod [b+1]).
נשתמש בתכונת הכפל ונקבל ש:
bn= (-1)n(mod [b+1])
כעת כדי לבדוק האם מספר a מתחלק ב-11, נבדוק האם ייתן אפס בחישוב לפי שארית 11. אנו משתמשים בבסיס ספירה 10, ולכן נציב במשוואה לעיל b=10. נשתמש בתכונת החיבור ונקבל ש:
an10n+ an-110n-1 +…+ a110+a0= an(-1)n+ an-1(-1)n-1 +…+ a1(-1)+a0. (mod 11)
כיוון ש10<11, אז בטוח שכל המקדמים a0-an אינם מתחלקים ב-11, ונקבל מספר חדש. כיוון שאני משתמשים בחשבון שאריות בבסיס 11, נצטרך להמשיך בתהליך, עד שנקבל מספר קטן מ-11, או אפס. כאמור, אם בדרך הגענו למספר המתחלק ב-11, המשמעות היא שנקבל בחשבון השאריות אפס.
בצורה דומה נוכל לקבל גם את "סימן ההתחלקות" ב-9 :
(mod [b-1])(b-1) =0.
b = 1(mod [b-1]).
bn= 1(mod [b-1])
ובאופן דומה, אם סכום כל הספרות (המקדמים a0-an ) מתחלק ב-9, המספר כולו מתחלק בתשע.
וה-11 הזה נראה לכם הגיוני? (צולם ע"י Wetsun)
מאת: ד"ר יוסי אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הסבר מאת: כרמל שור
המחלקה לכימיה פיסיקלית
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.
