שלום רונן,
ראשית כל, אציג את שתי הבעיות
בעיית מונטי-הול הינה בעיה מתמטית, בה משתתף בשעשועון בוחר וילון מתוך שלושה וילונות, כאשר מאחורי וילון אחד מחכה לו מכונית ומאחורי שני האחרים דחליל. המשתתף בוחר בוילון וכאן המנחה חושף וילון אחד מהשנים הנותרים, מאחוריו מסתתר דחליל. בשלב זה הוא מציע למשתתף לדבוק בבחירתו המקורית או לבחור בוילון הנותר השני. נצא מנקודת הנחה שבכל משחקון שכזה המנחה יחשוף דחליל מהוליונות הנותרים.
התמונה מויקיפדיה
במבט ראשון, עבור רוב האנשים, הסיפור על המנחה נראה לא רלוונטי, אנו עומדים כעת מול שני וילונות שמאחורי אחד מהם מכונית, ואיננו יודעים עליהם יותר משידענו קודם ולכן אין שום סיבה לחשוב שישנה עדיפות לאחד הוילונות, וההסתברות הינה 50/50.
אך אם נסתכל על הסיפור השלם ונבחן את כולו ע"פ חישובי הסתברות מותנית תעלה התמונה הבאה: בסיכוי של 1/3 הוילון שבחרנו מראש הוא המכונית, ואז אם נשאר- נפסיד ואם נחליף- ננצח. אך ישנה הסתברות של 2/3 שבחרנו דחליל ואז החלפה תביא לנצחון. התשובה הנכונה היא אם כן שהמשתתף ישפר את סיכוייו לזכות אם ישנה את בחירתו לוילון האחר.
בניסוי שני הסדקים אנו יורים אלומת אלקטרונים אל עבר מסך בלתי-חדיר בעל שני סדקים, ואנו בוחנים את פיזור האלקטרונים על משטח-גילוי. אם נחסום חריץ אחד תתקבל על המשטח תמונת התפלגות מסויימת (ראה תרשים), אותו דבר יקרה אם נחסום את החריץ השני. משיקולי הסתברות אנו יכולים להניח שאם שני הסדקים יהיו פתוחים עקומת ההתפלגות תהיה סכום ההתפלגויות, כיון שהאלקטרון עובר או בחריץ א' או בחריץ ב'.
בתמונה (מויקיפדיה) אנו רואים למעלה את הפיזור דרך סדק בודד, ולמטה את הפיזור דרך שני סדקים. באמצעות הסתברות בלבד אין אפשרות להסביר המצאותן של נקודות שחורות ('אפסים') בתמונה התחתונה.
באופן מפתיע ביותר, התמונה שתתקבל היא תמונה שונה לחלוטין והיא בעצם תמונת התאבכות בין שני המאורעות. למשל בנקודות מסויימות שפגעו בהם מספר אלקטרונים כאשר היה חריץ א' פתוח וכן מספר אלקטרונים כאשר היה חריץ ב' פתוח, כאשר שניהם פתוחים הסיכוי לפגיעת אלקטרון הוא אפס!
הדומה, אם כן, בין שתי הבעיות הוא ששתי הבעיות, לכאורה, הן בעיות הסתברותיות הנוגדות את האינטואיציה.
בעיית מונטי הול היא אכן כשל של האינטואיציה, והיא מדגישה בצורה חזקה מאוד את שבריריותה. אנשים רבים ובהם מלומדים מתקשים להשתכנע שהטיעון השני הוא ההגיוני. אך אנו נאלצים להשתכנע שהוא הנכון.
ההסבר של מכניקת הקוונטים הוא שישנה טעות יסודית בהבנה הקלאסית של הפיסיקה, מבלי להכנס להסברים מפורטים, נאמר שבעוד ההנחה שלנו גרסה שההסתברות הינה המשתנה היסודי שלנו, מכניקת הקוונטים שינתה את הנחות היסוד בכך שהיא המציאה משתנה חדש- 'אמפליטודת ההסתברות', שהוא מספר מרוכב שגודלו בריבוע הוא ההסתברות, כך שבדומה לגלים איננו סוכמים הסתברויות אלא סוכמים אמפליטודות ומהאמפליטודה הכוללת מחשבים את ההסתברות.
אני יכול להבין משאלתך שאתה אולי מעוניין לנסות להסביר את בעיית מונטי-הול באמצעות התאבכות כלשהי, ולכן ארחיב מעט את הדיבור כדי להדגיש הבדל מהותי נוסף ביניהן.
הסתברות הינו ענף מתמטי ותיק בעולמנו, והוא משמש בעיקר ככלי במצבים של חוסר ידע, המכונית כבר נמצאת מאחורי הוילון שלה, הקוביות נזרקות באופן מסויים ובאופן תיאורטי ניתן לחשב באיזו תוצאה הם יפלו. הסתברות היא כלי חישוב שהאדם פיתח כדי להתמודד עם חוסר ידע בצורה הטובה ביותר. אין שום בסיס הגיוני, מתמטי או פיזיקלי לומר שלקוביות יש אמפליטודה.
במכניקת הקוונטים האופי ההסתברותי הוא מהותי, המירב שאנו יכולים לומר על מדידה קוונטית הוא מה ההסתברות לכל תוצאה, מכניקת הקוונטים מוצאת את ההסתברות הזאת על ידי חישוב האמפליטודה, זוהי הנחה של מכניקת הקוונטים.
מאת: אלעד יעקבי
המחלקה לחומר מעובה
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.
