מתמטיקה היא
השטן!

בניגוד למה שתלמידים רבים חושבים, לא כל המתמטיקה מקורה בשטן. עם זאת, גדולי המתמטיקאים לאורך הדורות חקרו ענפים במתמטיקה שקשה ליישב עם ההיגיון השגרתי, כאלה ש"אינם מתקבלים על הדעת". מפתה מאוד, אם כך, לייחס להם מעורבות של גורמים על-טבעיים, ואיזה גורם על-טבעי עולה על אשמדאי, סַמָאֵל, הילל בן שחר, אדון הסטרא אחרא, לוציפר ומלך השדים? 

מתמטיקאים מקבלים לעיתים הצצות חטופות אל תחומים ועולמות שבני תמותה אחרים מתקשים להבין לאשורם, כמו מספרים אי-רציונליים, גיאומטריה לא-אוקלידית, מרחבים n-ממדיים או סוגים שונים של אינסוף. אלה עולמות אחרים, מעוותים, חלקם שטניים בבירור. לכן אין פלא שבדברי ימי המתמטיקה יש כמה וכמה אזכורים לאדון האופל. 

מתמטיקאים לאורך ההיסטוריה השתעשעו בצדדים השטניים של המתמטיקה. השטן ואלוהים במאבק הורדת ידיים | Barandash Karandashich, Shutterstock

נוצרים, היזהרו!

אוגוסטינוס הקדוש, למשל, כתב אי אז במאה החמישית ש"על הנוצרי הטוב להישמר מפני מתמטיקאים ומפני כל אלה המתנבאים לשווא. קיימת סכנה שמתמטיקאים כרתו ברית עם השטן כדי להשחיר את הנשמה ולכלוא את האדם בכבלי הגיהינום" (מתוך De Genesi ad Litteram, חיבור פרשנות לספר בראשית).

האזהרה הזאת לא באמת מתייחסת למתמטיקאים כפי שאנחנו מכירים אותם היום. במאה החמישית למושג "מתמטיקאים" הייתה משמעות אחרת לגמרי, ו"מתמטיקה" כתחום דעת של ממש התפתחה רק מאות שנים מאוחר יותר. כשאוגוסטינוס כותב על "מתמטיקאים", הוא מתכוון לאסטרולוגים ולנומרולוגים, שלפי גישתו מכרו את נשמתם לשטן כדי לחזות את העתיד באמצעות המתמטיקה.כיוון שהתחומים הללו קשורים למספרים (נומרולוגיה) ולחישובי מפות כוכבים (אסטרולוגיה), באותה תקופה נהגו להתייחס אליהם כאל "מתמטיקה".

יש לציין שאוגוסטינוס לא היה מתמטיקאי, ולכן יכולתו להיחשף אל הנשגב שבמתמטיקה, ולקבל דרכה מסרים אמיתיים מעולמות אחרים, מוטלת בספק. מצד שני, הוא היה תיאולוג גדול ואחד מאבות הכנסייה, אז אולי בגיהינום הוא דווקא הבין. ישפטו הקוראים אם בבסיס האזהרה של אוגוסטינוס עמדה דאגה לכיסיהם של קוראיו, או שמא הוא האמין בכנות שאותם נומרולוגים ואסטרולוגים אכן חוזים את העתיד בעקבות ברית שכרתו עם השטן.

אזהרתו של אוגוסטינוס הגיעה מפי לא-מתמטיקאי וסקה במי שאינם מתמטיקאים. אולם ציטוטים עסיסיים יותר, שמקורם ועניינם במתמטיקאים אמיתיים, מציגים אמת מטרידה לא פחות.  

הזהיר את הנוצרים המאמינים להישמר מפני מתמטיקאים. אוגוסטינוס הקדוש בתמונה מהמאה ה-17 מאת פיליפ דה שמפיין | ויקיפדיה, נחלת הכלל

סדרות הרות אסון

המתמטיקאי הנורבגי נילס הנריק אבל (Abel) כתב במכתב מ-1826, "טורים מתבדרים הם שטניים". אין ספק שאבל הכיר את השטן. הוא הציץ אל נפתולי האלגברה, ואז מת בגיל 27 משחפת, כשהוא מצטרף מוקדם במיוחד ל"מועדון ה-27" – כינוי רווח לשורה ארוכה של מוזיקאים, שחקנים ואמנים שמצאו כולם את מותם בגיל הזה. אני מוצא שקשה להכחיש את מעורבותו הברורה של השטן בחייו. מצד שני, מדובר ללא ספק במתמטיקאי דגול, ולראיה, עד היום אחד הפרסים החשובים בעולם המתמטי נקרא על שמו.

הטורים הללו, כלומר סכומים של איברי סדרות, נקראים טורים מתבדרים, שכן הם מוצאים את עצמם מתלבטים בין שני קטבים. יש עוד סוגים של טורים מתבדרים, אבל זו דוגמה טובה מאוד לזן השטני במיוחד שלהם. תחשבו אולי שכמו במקרים רבים אחרים במתמטיקה הבעיה טמונה באינסופיות. אבל הפעם הסיפור הוא אחר. יש טורים אינסופיים שאנחנו בסדר איתם. אנחנו יודעים שהטור

1+1/2+1/4+1/8+…

מתכנס, למרות אינסופיותו, ל-2. ואנחנו יודעים גם שהטור

1+1+1+…

מתקרב אל האינסוף ככל שמתקדמים – גם זה סוג של התבדרות. עד כאן אין בעיה ואין שטן. אך אבל הצעיר התבונן בטור הבא: 

1-1+1-1+1…

מה יהיה הערך שלו? ובכן, אפשר לברר בשתי דרכים שונות. מצד אחד

1-1+1-1+1… = (1-1)+(1-1)+…=0+0+…=0 

אבל מצד שני אפשר גם 

1-1+1-1+1… = 1+(-1+1)+(-1+1)…=1+0+0+0+…=1 

אז… התחלנו מאותו סכום, סיכמנו אותו בדרך אחת וקיבלנו אפס, וכשסיכמנו בדרך אחרת קיבלנו אחת. ויש עוד דרכים לסכום אותו ולקבל עוד תוצאות. זאת בעיה חמורה מאוד, שמקורה עלול להיות מעורבותו הבלתי ניתנת להכחשה של אשמדאי ברזי המתמטיקה. כאן חשוב להבהיר שמעורבותו של השטן לא הופכת את המתמטיקה שהוא קשור אליה להיות שגויה. היא רק... ובכן, שטנית. 

רק מאות שנים אחרי מותו בטרם עת של אבל פותחו כלים מתמטיים שיכולים להתמודד עם מצבים כאלה. האם הוא זכה להציץ בעולם מתמטי רב הוד ונשגב מבינתנו, בני האדם הרגילים? גם על השאלה הזו יצטרכו הקוראים להשיב בעצמם. 

כתב כי סדרות מתבדרות הן המצאה של השטן. דיוקנו של נילס הנריק אבל | ויקיפדיה, נחלת הכלל

מלאכים ושדים

המתמטיקאי והפילוסוף הגרמני הרמן וייל (Weyl) כתב בשנת 1939, "בימים אלה מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה המופשטת נאבקים על נשמתו של כל תחום ותחום במתמטיקה". גם הוא, אם כן, לא חשב שהשטניות מפחיתה מערכה של המתמטיקה. בתרחיש שמתאר הציטוט הזה, מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה מנהלים קרב על נשמתו של המתמטיקאי. חלק אחד של המתמטיקה הוא נשגב, שמימי ויפהפה, וחלק אחר הוא... יפהפה גם הוא, אבל בצורה מפלצתית, מקורננת ומבעיתה. אך מדוע ענף אחד של המתמטיקה מלוהק לתפקיד הגיבור ואחר לתפקיד הנבל? האם זו גחמה? 

מתברר שהדימוי הזה, האלגברה כמכשירו של השטן, לא היה פרי רוחו של וייל בלבד. המתמטיקאי מייקל עטיה (Atiyah) כתב ב-2004, "אלגברה היא הפיתוי שהניח השטן לפתחם של מתמטיקאים. השטן אומר: 'אתן לכם את המכונה רבת העוצמה הזאת, שתענה על כל שאלה שתפנו אליה. כל שעליכם לעשות הוא להעניק לי את נשמתכם: ותרו על הגיאומטריה ותזכו במכונה המופלאה הזאת'".

ושוב האלגברה ממוסגרת בתור השטן, מול נשמה אלוהית ונשגבת, שהיא במקרה הזה גיאומטרית. למה? אני לא חושב שזה עניין של אסתטיקה או של יופי. כלומר ודאי שיש כאן טעמים שונים, ויש מתמטיקאים שבעיניהם ענפים מתמטיים מסוימים יפים הרבה יותר מאחרים. אבל לא נראה לי שזה לב המחלוקת סביב האלגברה.

אני חושב שיש כאן התנגשות בין שני ערכים חשובים בהוכחות מתמטיות: הראשון, הכמעט מובן מאליו, הוא היעילות. בכך האלגברה נוטה להצטיין, והיא יוצרת הוכחות ביעילות מופלאה. על כן זה הפיתוי שהשטן מציע. הערך השני הוא המשמעות. הגיאומטריה חזקה יותר במתן משמעות לדברים, כשהיא מקנה לנו יכולת לדמיין את האובייקטים המתמטיים כעצמים במרחב, למשל. אני מניח שעטיה ראה בכך את ה"נשמה" של המתמטיקה. ואכן, עסקה קלאסית עם השטן, כפי שהיא מוצגת בספרות ובקולנוע, נראית בדיוק כך: לאבד את הנשמה ואת המשמעות תמורת היעילות. 

בכתביו מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה מנהלים קרב על נשמתו של המתמטיקאי. הרמן וייל | ETH Zürich, Wikipedia

העקביות המיוחלת

המתמטיקאי הצרפתי-אמריקאי אנדרה וייל (Weil) כתב ב-1977, "אלוהים קיים כיוון שהמתמטיקה עקבית, והשטן קיים כי איננו יכולים להוכיח זאת". אם תרצו, זהו המוקד של כל הוויכוח, או ההסבר האולטימטיבי: המתמטיקה מספקת הוכחה לקיומו של "אל" – במשמעות של דבר גדול ויפה ונשגב, וגם לקיומו של השטן - במשמעות של עוול נצחי שמייסר את רוח האדם. 

הציטוט מתייחס לעבודתו של המתמטיקאי והלוגיקן קורט גדל (Gödel). משפטי אי-השלמות של גדל שמו קץ לשנים רבות של ניסיונות מצד גדולי המתמטיקאים להגיע אל "אבן החכמים" או "הגביע הקדוש" של המתמטיקה: להוכיח עקביות, כלומר להביא לידי כך שהמתמטיקה כולה תהיה חפה מסתירות. ואז הגיע גדל וסתם את הגולל על מאמציהם כשהראה שאי אפשר להוכיח עקביות של מערכת מתמטית מתוך המערכת עצמה. זהו סיפור דרמטי ארוך מאוד, שמכיל טרגדיות אישיות ודמויות גדולות מהחיים. אני לא מבין למה הוא עוד לא הפך לסדרת דרמה.