אחת הבעיות הקלאסיות בגיאומטריה היא מציאת האמצע של קטע נתון. הצורך הזה נולד למשל כשרוצים שהקטע הזה יהיה קוטר של מעגל, כשיש לחלק שדה באופן שווה לשני שדות מלבניים קטנים יותר ועוד. במקרים אחרים רוצים לחלק קטע למקטעים אחרים, כך שאפשר להכליל את הבעיה של מציאת האמצע ולשאול איזו נקודה P בקטע AB מחלקת את הקטע ביחס נתון r, כך ש- $r=\frac{AP}{PB}$ (ראו איור).
חלוקת קטע ביחס נתון: הנקודה P מחלקת את הקטע AB ביחס AP:PB.
בכתבה זו בחרנו להציג שתי דרכים שונות לפתרון הבעיה של חלוקת קטע ביחס נתון, ראשית לפי הגיאומטריה האוקלידית ואז שוב לפי הגיאומטריה האנליטית, ש"מתרגמת" בעיות הנדסיות לבעיות אלגבריות בצורה של משוואות. בדרך נתייחס גם לשימושים האמנותיים שיש לחלוקת קטעים ביחס נתון.
חלוקת קטע ביחס נתון בגיאומטריה האוקלידית
בפתרון הבעיה לפי הגיאומטריה האוקלידית משרטטים קרן שיוצאת מאחד משני קצות הקטע שברצוננו לחלק. את הקצה הזה נכנה A ואת הקצה השני של הקטע B (ראו בשרטוט למעלה).
נניח שיחס החלוקה הוא $\frac{m}{n}$. בדוגמה שבשרטוט למטה, m=5 ו-n=3. אם נצליח לחלק את הקטע AB ל-(m+n) קטעים קטנים שווי אורך, נקודת החלוקה תהיה בגבול שבין m החלקים הראשונים ל-n החלקים האחרונים. בדוגמה שבשרטוט למטה הנקודה E נמצאת בגבול שבין חמשת החלקים הראשונים לשלושת החלקים האחרונים על הקטע AB.
תחילה משרטטים על הקרן בעזרת מחוגה (n+m) קטעים שווי אורך החל מנקודה A. אורך הקטעים שרירותי אך קבוע. את סוף הקטע האחרון מכנים B1 ומחברים אותו ל-B (הקצה השני של הקטע שברצוננו לחלק). כך קיבלנו משולשA,B1,B .
כעת משרטטים קטעים מקבילים לקטע BB1, שעוברים בקצות הקטעים השווים על הקרן, (C1 D1, E1 וכך הלאה). המשולשים ACC1, ADD1, AEE1 וכו' דומים זה לזה, כלומר זוויותיהם זהות והיחסים בין כל שתי צלעות בהם זהים. לכן גם אורכי הקטעים DE ,CD ,BC... על הקטע AB זהים.
יצרנו על הקטע(n+m) AB קטעים שווי אורך. נקודת החלוקה שמחלקת את הקטע AB ביחס $r=\frac{m}{n}$ היא הקצה הרחוק מ-A של קטע מספר m. בדוגמה שבשרטוט מחלקת הנקודה Eאת הקטע AB ביחס של $r=\frac{5}{3}$ .
חלוקת קטע ביחס נתון בגיאומטריה האוקלידית
חלוקת קטע ביחס נתון בגיאומטריה האנליטית
גם בפתרון הבעיה לפי הגיאומטריה האנליטית נעזרים במשולשים דומים זה לזה, ונוסף להם במערכת צירים קרטזית בעל שני צירים מאונכים זה לזה. המערכת מכונה על שמו של רנה דקארט שנחשב מייסד האלגברה האנליטית.
התבוננו בשרטוט הבא, שבו הנקודה P מחלקת את הקטע AB ביחס נתון. האם אתם יודעים לחשב את השיעורים של P? רמז: המשולשים AP1P ו-PB0B דומים זה לזה.התייחסו לעובדה שהנקודה P מחלקת את הקטע AB ביחס r. חשבו לדוגמה את שיעורי הנקודה שמחלקת את הקטע AB לשני חלקים שווי אורך.
בעזרת היישומון הבא תוכלו לבדוק את שיעורי הנקודה P שאפשר לחשב בעזרת הנוסחה שקיבלנו קודם. בעזרת סרגל הגרירה תוכלו לשנות את היחס r. היישומון מתאים לדפדפנים עדכניים התומכים ב-html5. ניתן גם להפעיל גרסת java של אותו יישומון.
מעניין להשוות בין הפתרון האנליטי לפתרון האוקלידי. שני הפתרונות נעזרים בקרן לבניית משולשים זהים זה לזה. במקרה של הפתרון האנליטי קרן העזר הזו היא הציר X. בניגוד לפתרון האנליטי, הפתרון האוקלידי לא נותן תוצאות מספריות מאחר שאין בו מערכת הצירים.
חלוקת קטעים באמנות
הבעיה של חלוקת קטע ביחס נתון אינה לגמרי תיאורטית ויש לה שימושים רבים. אמנים יודעים שהחלוקה ביחס הזהב ביצירות אמנות משדרת שלמות ויופי. בין שני חלקי קטע קיים יחס זהב אם היחס בין אורך הקטע הגדול יותר לאורך הקטע הקטן יותר שווה ליחס שבין אורך כל הקטע לאורך הקטע הגדול יותר. האם תוכלו לחשב על בסיס המידע הזה את הערך המספרי של יחס הזהב? היעזרו בשרטוט.
מפני שמדובר ביחס בין קטעים, אנו מתייחסים רק לפתרון החיובי של המשוואה הריבועית.
חלוקת קטע ביחס הזהב: a+b מתייחס ל-a כמו ש-a מתייחס ל-b | התרשים לקוח מוויקיפדיה
לא ידוע אם לאונרדו דה וינצ'י צייר את המונה ליזה בכוונה כך שאפשר יהיה לגלות בה יחסים רבים הקרובים ליחס הזהב (ראו ציור).
המונה ליזה. יחסים קרובים ליחס הזהב | התמונה לקוחה מוויקיפדיה
חלוקה של קטעים ביחס נתון מופיעה גם במוזיקה. כשמנגנים בגיטרה, מחלקים את מיתרי הגיטרה ביחסים מסוימים כדי לשנות את אורך החלק הרוטט שלהם. כבר פיתגורס ביצע ניסויים עם מיתרים וגילה שהצלילים של מיתרים הזהים בכל פרט לאורך נשמעים הרמוניים כל עוד אורכי המיתרים עומדים ביחס פשוט. ה"מונוקורד" הוא כלי נגינה קדום שמשמש להדגמת הרעיון הזה (ראו תמונות).
|
|
 |
מונוקורדים | התמונות לקוחות מוויקיפדיה; התמונה הימנית נוצרה בידי Morn the Gorm
על המונוקורד נמצאים מיתרים זהים (אחד או יותר). בעזרת גשרים שלוחצים על המיתרים בנקודות הרצויות אפשר לקצר את החלק הרוטט שלהם וכך לשנות את הצלילים. ישנם מונוקורדים שמראים באופן מוחשי את יחסי החלוקה (ראו תמונה).
מונוקורד עם שלושה מיתרים | התמונה לקוחה מוויקיפדיה; נוצרה בידי OUTIS
הקישו על התו למטה כדי לשמוע דוגמה של צלילי פסנתר כאשר מיתר אחד קצר פי 4/5 מהמיתר השני. מוזיקאים קוראים למרווח הזה "טרצה".
טרצה. | קובץ האודיו לקוח מוויקיפדיה;נוצר בידי Hyacinth
האם אתם מכירים דוגמאות אחרות שבהן מופיעה חלוקה של קטע ביחס נתון?
ד"ר סבינה שטוקר-סגרה
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
