גולשים נכבדים, אתם מוזמנים להשתתף בכתיבת הכתבה הזו (פרטים למטה).
שלשה פיתגורית היא קבוצה של שלושה מספרים טבעיים שמקיימים את משפט פיתגורס: $x^2+y^2=z^2$ . לשלשות פיתגוריות יש תכונות מעניינות רבות.
דוגמאות לשלשות פיתגוריות הן $\{3, 4, 5\}$ או $\{5, 12, 13\}$.
יונתן בן ה-13 גילה תכונה מעניינת של שלשות פיתגוריות: אם שני המספרים הגדולים ביותר בשלשה הם מספרים עוקבים, אזי המספר הקטן ביותר בשלשה תמיד יהיה אי-זוגי.
הוכחה: נניח ש-$a^2+b^2=c^2$, כאשר $(a,b,c)$ היא שלשה פיתגורית ו-$b$ ו- $c$הם מספרים עוקבים, כלומר $b=n$ ו-$c=n+1$, כאשר $n$ הוא מספר טבעי. מכאן נובע
$a^2= c^2- b^2=(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$.
$2n+1$ הוא מספר אי-זוגי וגם הריבוע של $a$, לכן $a$ אי-זוגי. מש"ל. יישר כוח ליונתן!
הצמדת ספרות
אחד מגולשינו שם לב שהשלשה $\{15, 112, 113\}$ מתקבלת על ידי הצמדת הספרה 1 משמאל לכל אחד ממספרי השלשה $\{5,12,13\}$ ושאל אם יש שלשות נוספות שמתקבלות בהצמדה כזו.
ובכן, התשובה היא שיש. כתבנו תוכנית מחשב ומצאנו שלשות נוספות.
הרקע התיאורטי של תוכנית המחשב למציאת שלשות פיתגוריות שמתאימות להצמדה
הגולש רמי שלח לנו הוכחה שניתן ליצור אינסוף שלשות פיתגוריות שמתקבלות בהצמדה.
הצעת שם
הגולש דן-1 הציע את השם "צמוד פיתגורי" עבור שלשה פיתגורית שמתקבלת דרך הצמדה (ראו את התגובות למטה). האם יש לכם רעיונות נוספים איך לכנות שלשה כזאת?
סכום הספרות
הקישו על התמונה כדי לצפות בסטטיסטיקה על סכום הספרות של שלשות פיתגוריות. הגולש רמי שלח לנו את העבודה הזו.
בהמשך עשה רמי השוואה סטטיסטית בחישובי סכום ספרות של שני המספרים הראשונים בשלשות פיתגוריות לבין סכום כל השלושה:
עבור M=2000000
בשלשה פיתגורית (a,b,c) זוג מספרים הראשונים (a,b) הקובעים את המספר השלישי c.
רמי חישב לחוד את סכום ספרות של שני המספרים הראשונים ואת סכום כל 3 המספרים של כל שלשה פתגורית.
להלן ההשוואות:
הקישו כאן כדי לצפות בגליון האלקטרוני.
שלשות פיתגוראיות אינסופיות עם מינימום ספרות שונות
היחודיות של השלשה 5, 12, 13
ראו בתמונה הבאה שקופית המורה את היחודיות של השלשה 5, 12, 13. דן-1 שלח לנו עבודה זו. הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה.
שלשות פתגוריות פרימיטיביות עם יתר שעוקב לניצב הגדול
הטבלה הבאה מתוך עבודה של דן-1 על שלשות פתגוריות פרימיטיביות עם יתר שעוקב לניצב הגדול. הקישו על התמונה כדי לקרוא עבודה זו.
משולשים שווי שטח
הנה עבודה שדן-1 הכין לגבי משולשים ישרי זוית ושווי שטח עם צלעות במספרים שלמים. הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה. מעוניינים מוזמנים לבקש את הגיליון האלקטרוני המקורי של עבודה זו.
ובהמשך...
האם גיליתם תכונות חדשות ומעניינות של שלשות פיתגוריות? אתם מוזמנים להשתתף בכתיבה של הכתבה הזאת בכמה דרכים:
- אם יש לכם הערות או שאלות הגיבו בטוקבק לכתבה זו.
- שלחו דוא"ל למעגל המתמטי (math.circle@weizmann.ac.il).
- כתבו בדף המשותף שמופיע למטה. כדי להצטרף לקבוצת עורכי הדף יש לשלוח דוא"ל לצוות המעגל המתמטי. אחרי שתסכימו לתנאי השימוש תוכלו לערוך את הדף.
שיהיה לנו שיתוף פעולה פורה!
