בבלוגריתמוס 19 הדגשנו שני דברים לגבי קבוצה שבה קיימת פעולה בין שני איברים. ראשית, יש לשאוף שהפעולה תוגדר היטב בין כל שני איברים. רק במקרים קיצוניים, כשהדבר יגרום להרס המבנה כמו שקורא בחלוקה לאפס – ניתן לאפשר יוצאים מן הכלל. אך בנוסף הדגשנו שהמתמטיקה היא תחום יצירתי, ואפשר לבדוק בה רעיונות שונים, לשחק בהם ולנסות ליצור "יקומים" חדשים – אך בתנאי שכללי החישוב בהם יוגדרו כהלכה. חלקם ייראו כמשחק, אך מתברר שממשחקים שכאלה צמחו לעיתים ענפים חשובים מאוד במתמטיקה.
הבה נשחק במשחק הבא: כלי המשחק יהיו כל הנקודות וכל הישרים במישור. אלה יהיו איברי הקבוצה. עתה ננסה להגדיר פעולה בין כל שני איברים בקבוצה. רעיון ראשון, פשוט ולעניין הוא שתוצאת הפעולה בין כל שתי נקודות היא הישר המחבר ביניהן. תוצאת הפעולה בין שני ישרים – נקודת החיתוך ביניהם. בין ישר לנקודה – האנך לישר העובר בנקודה. פשוט ולעניין? לא ממש, כי מה יהיה אם שני הישרים מקבילים? ומה אם שני הישרים זהים? ואם שתי הנקודות זהות?
לשאלה השניה יש פתרון טבעי: מאחר שהישר כולו משמש כקבוצת החיתוך של ישר עם עצמו, נגדיר את תוצאת הפעולה של ישר עם עצמו כישר עצמו! לדוגמה, תוצאת הפעולה של ציר האיקס על עצמו היא ציר איקס!
גם הבעיה השלישית קלה לפתרון: התוצאה תוגדר כאנך מהנקודה הכפולה לציר האיקס! אך עם הבעיה הראשונה התמודדה המתמטיקה בצורה מעמיקה ומרחיקת לכת: למישור הממשי יש להוסיף ישר דמיוני, "ישר האינסוף", וכל קבוצת הישרים המקבילים זה לזה – נחתכת בנקודת אינסוף משותפת. אפשר לומר שהנקודה הזו היא "הכיוון" של קבוצת המקבילים.
כך נפתרת הבעיה של נקודת חיתוך של מקבילים – אבל במקומה צצות בעיות חדשות. איך נגדיר את הפעולה בין ישר ונקודת אינסוף? אי אפשר "להוריד אנך" מנקודת אינסוף לישר, אלא במקרה שהיא "הכיוון" של האנכים לישר! לכן, כפתרון מלאכותי למדי, נוכל להגדיר את תוצאת הפעולה כנקודת הכיוון של כל האנכים לישר. לפתרון הזה יש חיסרון: פעולה בין ישר מסוים לנקודת אינסוף כלשהי תיתן את אותה תוצאה, ולכן הפעולה תהיה לא מעניינית ולא מגוונת, אף שהיא מוגדרת כראוי.
לכן, במקום להוסיף את ישר האינסוף נציע פתרון פשוט: תוצאת הפעולה בין שני מקבילים היא הישר המקביל להם "באמצע", כלומר במרחק שווה משניהם.
זו היתה דוגמה לפעולה שהמצאנו. למתעניינים, נסו לבדוק אילו מהתכונות הבאות קיימות בה ואילו מהן אינן קיימות: פעולה מוגדרת היטב, חילופיות, איבר האפס, איבר הופכי, אסוציאטיביות – כל אלה תכונות שקיימות למשל בחיבור ובכפל. המציאו פעולות ובדקו את תכונותיהן – למשל: a*b= a+b+5.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
