מי לא מכיר את השעשוע הבא? ברשותכם ארבעה מספרים זהים וחמש פעולות החשבון, כולל העלאה בחזקה. נסו ליצור מהם את מרב המספרים האפשריים.
לעתים הדרישה צנועה יותר. למשל: לרשותכם רביעיית ספרות של 4. צרו ממנה את כל המספרים שבין 0 ל-20. את 20, לדוגמה, נקבל מ-(4+(4/4))*4
אנו נעסוק בשאלה הראשונה, הכללית. נתחיל בכך שכל קורא יכתוב לעצמו את הערכתו: א) כמה מספרים כאלה קיימים. וב) האם המספרים תלויים בזהות הרביעייה שבחרנו?
נסמן את המספר של הרביעייה ב- aופעולה כלשהי ב-#. לכאורה נוכל לסמל את כל יצירות המספרים ב-a#a#a#a, כאשר כל סולמית מסמנת חמש אפשרויות של בחירת הפעולה, והיינו מקבלים 5*5*5=125 תוצאות. אבל שכחנו בדרך כלל חשוב בחישובים: מיקום הסוגריים! מיקומם משנה בדרך כלל את התוצאה.
דוגמה פשוטה: 4+=(4-4)-4, אבל 4-=4-(4-4). לכן עלינו למצוא את כל תבניות הסוגריים האפשריות. כיוון שיש שלוש פעולות, נקבל שלושה זוגות של סוגריים בכל חישוב.
נקפיד על סדר הפעולות, כשבכל פעם אנו יוצרים סוגריים סביב פעולה בין שני מספרים או בין ביטויים המצויים בתוך סוגריים, ונקבל חמש תבניות:
(((a#a)#a)#a) ,((a#a)#(a#)) ,((a#(a#a))#a) ,(a#((a#a)#a)) ,(a#(a#(a#a)))
ומכאן, יש 125*5=625 תוצאות שונות... לכאורה.
מדוע "לכאורה"? כי אפשר לחלק את חמש הפעולות לשתי קבוצות: החיבור והכפל הן פעולות בעלות תכונת ה"קיבוציות", ואילו החילוק, החיסור וההעלאה בחזקה אינן "קיבוציות".
את תכונת הקיבוציות ניתן לתאר בפשטות כחוסר הצורך בסוגריים, כי בכל דרך שנבצע בה את החישוב נקבל את אותה תוצאה כאשר כל הפעולות שבביטוי הן זהות: או שכולן חיבור או שכולן כפל. השוו את שני הביטויים 2#(3#4)) ,((2#3)#4)), כשבכל השוואה תשתמשו באותה פעולה ותראו את החלוקה בין חמש ההשוואות.
לכן, בכל פעם שכל הפעולות בביטוי הן זהות ואסוציאטיביות, הסוגריים אינם משנים את התוצאה. לדוגמה, אם כל שלוש הפעולות הן חיבור – התוצאה תהיה תמיד זהה, במקום שיהיו לנו חמש תוצאות שונות. אך גם אם יש רק שתי פעולות זהות, רצופות ואסוציאטיביות, עדיין הביטויים החלקיים זהים.
כמו כן, בגלל האיסור לחלק באפס לא יכולה להופיע פעולת חילוק לפני הביטוי (a-a). בנוסף, כאשר בין שני ביטוים מופיעה פעולה חילופית (קומוטטיבית), כלומר חיבור או כפל, אפשר להחליף את הסדר בלי לשנות את התוצאה. לדוגמה ((4/4)+4)=(4+(4/4)). ויש דוגמאות רבות.
לכן, מספר התוצאות השונות נמוך בהרבה מ-600. וכאשר a הוא 0, 1 או 2 המספרים קטנים עוד יותר. עבור 0, כל התוצאות התקינות הן 0; עבור 1, התוצאות הן 2-, 1-, 0, 1/3, 1/2, 1, 3/2, 2, 3, 4. עשר תוצאות בסך הכול. עבור 2 התוצאות רבות יותרף אך מאחר ש-2+2 שווה ל-2*2, ששווה גם ל-22, תוצאות רבות מאוד תהיינה זהות. כל המתעניינים – מוזמנים לחשב. נספר רק שהמספר הקטן ביותר הוא 14- והגדול ביותר הוא 65536.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
