בין פלאי הגיאומטריה הרבים מצויים גם שלושת המשפטים המפורסמים: התיכונים, האנכים וחוצי הזווית, כל שלישייה כזו נפגשת בנקודה אחת! מעבר לחשיבות העצומה של המשפטים האלה, אפשר לתהות מהו סוד הקסם של התיכונים, האנכים וחוצי הזווית, שמאלץ אותם להיפגש? הרי אם נצייר סתם שלושה אלכסונים באופן שרירותי, בעיניים עצומות, הסיכוי שייפגשו יהיה. ואם נדאג, בעיניים פקוחות, שהאלכסונים ייפגשו, הם ייראו כסתם אלכסונים מקריים, שאין להם שום תכונה גיאומטרית מכובדת שמשותפת לשלישייה המככבת לעיל.
אך האמת היא אחרת! לכל שלישיות האלכסונים שנפגשים בנקודה אחת יש תכונות משותפות מעניינות ומפתיעות.
התבוננו בציור: הוא מפרט חלוקה של זוויות וצלעות על ידי שלושה אלכסונים שנפגשים "במקרה" בנקודה אחת. שני משפטים חשובים קובעים כי:
A) : (a1/a2)*(b1/b2)*(c1/c2)=1
B) : )sina’/sina’’)*(sinb’/sinb’’)*(sinc’/sinc’’)=1
את ההוכחות אפשר לעשות בעזרת משפט הסינוסים והן אינן קשות. אתם מוזמנים להוכיח את המשפטים בעצמכם. לכן אין פלא שהתיכונים נפגשים - כי כל כופל במשפט הראשון ערכו 1 לגבי תיכונים. נסו להוכיח שגם לגבי אנכים וחוצי זווית ערך המכפלה במשפט הראשון הוא 1.
תוצאה מעניינת היא שאם נסמן חלוקת צלעות שמקיימת את המשפט – האלכסונים ייפגשו. זה מאפשר לנו לבחור בכל פונקציה (f(x שאינה מתאפסת על אורכי הצלעות, כך שנסמן:
(a1/a2=f(c)/f(b), b1/b2=f(a)/f(c), c1/c2=f(b)/f(a והמכפלה היא 1!
f(x)=xלדוגמה: עבור חוצי-זווית
f(x)=2x+3נניח שישנו משולש שאורך צלעותיו הוא 4, 6 ו-8, ונבחר
לכן חלוקת הקטעים תהיה 15/11, 11/19, ו-19/15 ומכפלתם היא 1.
בחרו פונקציות לפי טעמכם ובדקו את התוצאות.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
