בבלוגים קודמים עלתה שאלת החילופיות של פעולה, או "קומוטטיביות" בלועזית. כלומר: מתי a*b=b*a?
פעולות החיבור והכפל הרגילו אותנו לרעיון שכל פעולה היא קומוטטיבית, אך עד מהרה גילינו שהחיסור והחילוק אינם קומוטטיביים לעולם, פרט למקרה הטריוויאלי של a*a. ובכל זאת נשארת התחושה שהתוצאות "דומות", כי הרי 2=4:2, 1/2=2:4 ו-5-3=2 ,3-5=-2. כלומר, התוצאות של החילוף הן מעין תמונת ראי.
הטענה הזאת נכונה לגבי שתי הפעולות האלה, אך לא תופסת לגבי מרבית הפעולות שאינן קומוטטיביות. ועם זאת, גם בהן יש לא פעם "איים" קומוטטיביים. זוכרים את מושג החבורה? יש אינסוף חבורות לא קומוטטיביות, אבל בגלל איבר היחידה מתקיים בכולן a*1=1*a.
קיימים כמובן איים רבים שלא נדון בהם כאן, כי הם דורשים ידע בתורת החבורות. אך הפעם נסתכל על פעולה שנראה כאילו קשה למצוא בה איים חילופיים – העלאה בחזקה: מתי ab=ba? האם עולה בדעתכם אי כלשהו? חישבו על כך. את התשובה נראה בהמשך.
כדי להתמודד עם הנוסחה נבצע "פעולת-הסחה": נגדיר את c על ידי המשואה b=ca, ומכאן נקבל
aca=(ac)a=ba
ולכן
b=ac=ca
ac-1=c
a=c1/(c-1)
b=c*c1/(c-1)=cc/(c-1)
כלומר, עבור כל c חיובי וממשי נקבל פתרון אחד ממשי לa,b-, מלבד הפתרון הטריוויאלי a=b כאשר c=1. אפשר להראות ש-a,b יכולים לקבל כל ערך מלבד 1!
ועתה, לדוגמה היחידה של פתרון במספרים טבעיים: אם נציב 2=c נקבל: a=2,b=4
ואכן: 16=24=42.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
