מי לא מכיר משוואות?
משוואות הן מאזניים מתמטיים ששתי הכפות שלהם מתאזנות. לדוגמה:
על ידי העברה מאגף לאגף אפשר לכתוב כל משוואה בנעלם אחד בצורה f(x)=0. למשוואה שכזו יכולים להיות אפס פתרונות, כמו שקורה למשל במשוואה x+2-x+1=0, או n פתרונות כמו במקרה של פולינום כלשהו מחזקת n:
יכולה להיות גם פונקציה בעלת אינסוף פתרונות שונים, כמו הפונקציה המצוירת להלן:
הפונקציה הזו מורכבת מסדרה רצופה של שתי צלעות שוות, מתוך משולשים שווי צלעות, כשאורכו של כל בסיס הוא מחצית מאורכו של הבסיס שקדם לו. אמנם לפונקציה הזו יש אינסוף פתרונות, אך היא אינה מתאפסת עבור כל x. עולה שאלה מעניינת וערמומית: האם קיימת פונקציה שמתאפסת עבור כל x?
בתיאור גרפי, פירושה השאלה הוא: עבור כל x שנבחר, y יהיה 0. אכן קיימת פונקציה כזאת: ציר ה-x, שנוסחתו היא y=0. מתוך הגדרת השאלה ברור שזו התשובה האפשרית היחידה. לכן נשאל שאלה מתוחכמת יותר – האם אפשר להסתיר את y=0 בתוך מערכת מתוחכמת יותר?
קל לגלות את ה"בלוף" אם נבחר פונקציה מהצורה:
או:
וכמובן, עבור מכפלות של 0 בפונקציות כלשהן. אך מה עם הפונקציה
כדי לחשוף את הבלוף עלינו לחזור לגיאומטריה, להגדרותיה ולמשפטיה. אך מאחורי ה"בלוף" נמצא עולם מספרים מרתק שרחוק מלהיות טריוויאלי, ולפי כל פונקציה נורמלית (לא נפרט כאן למה הכוונה ב"פונקציה נורמלית", אך נאמר שהפונקציות הטריגונומטריות הן נורמליות), אם אינה פולינום סופי, אפשר להציג אותה כפולינום אינסופי.
לדוגמה, הפונקציה:
היא פונקציה שמתאפסת עבור כל x, אולם נראית אחרת מ-y=0. וזו אינה רק מראית עין – השיוויון נובע מחקירה מעמיקה של פונקציות כמו סינוס, כפי שמופיע בדוגמה, לבין טורים אינסופיים.
ועתה – לפרדוקס מפתיע. נוכחנו שאין פולינום סופי מחזקה n שמתאפס עבור כל n, (אלא רק ב-n נקודות שחלקן עשויות להיות מספרים מרוכבים). לסיום נעלה שאלה מקבילה ומעניינת בתחום הגיאומטריה. האם אפשר לשרטט שרטוט גיאומטרי בסרגל בלבד, בלי סימוני אורך, וליצור מאורכי קטעיו משוואה שתמיד תתאפס, אף שהאורכים עצמם אינם ידועים לנו?
התשובה המפתיעה, בבלוגריתמוס 25.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
