בבלוג 24 הראנו שאין בעצם פונקציהf(x) בעלת מספר איברים סופי שמתאפסת עבור כל x – מלבד הפונקציה הטריוויאלית f(x)=0. אך מהו המצב בגיאומטריה? האם נוכל, לדוגמה, לשרטט קו שבור בסרגל לא מסומן, כך שנגדיר כל קטע מהקו בתור משתנה ונסמן אותו באותיות z ,y ,x, וכו' – ולמרות שאיננו יודעים מהו אורכו של כל קטע מאחר שאין לנו סרגל, עדין נוכל להגדיר על הקטעים הללו פונקציה שתתאפס, כלומר f(x,y,z)=0?
במחשבה ראשונה, אחרי שקראנו את הדיון בבלוג קודם, הרעיון נראה מופרך – אלא אם כן נעשה גירסה גיאומטרית לפונקציה הטריוויאלית f(x)=x-x=0, נשרטט קו שבור ABCD ומיד נחזור עליו בכיוון ההפוך DCBA. אך מתברר שבמציאות יש תשובה נוספת ומפתיעה ביותר. באמצעות שני משפטים פשוטים נוכל ליצור שרטוטים פשוטים או מורכבים שמקיימים את תנאי הפונקציה.
הבה נלמד את המשפטים הללו, ששניהם עוסקים בתכונות המשולש. בציור שלפנינו מופיע משולש כללי. צלעותיו מסומנות באותיות אנגליות קטנות, זוויותיו באותיות יווניות ושטחו מסומן באות S.
המשפט הראשון על המשולש הזה נקרא משפט הסינוסים:
המשפט השני הוא משפט השטחים, שקובע כי שטח המשולש שווה למחצית מכפלת שתיים מצלעותיו בסינוס הזווית שביניהן:
כעת ננסה לצייר מגן דוד ללא סרגל על ידי חיתוך של שני משולשים. מאחר שאין לנו סרגל, לא נוכל לקבל משולשים שווי צלעות, אלא נקבל צורה דומה לזו שמופיעה בציור הבא. בצורה זו סומנו חלק מזוויות המשולש במספרים. מספרים זהים אומרים שהזוויות שוות מאחר שהן קודקודיות. חלק מהצלעות מסומנות באותיות.
כעת נוכל להשתמש במשפט הסינוסים עבור כל הזוויות והצלעות שסומנו ונקבל את המשוואה הבאה:
כלומר קיבלנו שאם נכפול את הצלעות החיצוניות ונחלק אותן בסדר הנכון, נקבל תמיד 1, אף שאין לנו שום מידע על אורכה של כל אחת מהצלעות הללו בנפרד.
באמצעות חיתוך שני המשולשים נקבל שישה משולשים חיצוניים, שאותם נכנה מעתה "עטרה". נוכל להרחיב את השיטה הזו ולחתוך שני ריבועים כדי לקבל עטרה של שמונה משולשים, או לחתוך מחומש במחומש ולקבל עטרה של עשרה משולשים וכן הלאה. בכל פעם שנבצע פעולה כזאת נקבל עטרה בעלת מספר זוגי של משולשים, ואם נכפיל ונחלק את צלעותיהם בסדר שהודגם כאן נקבל תמיד את אותה תוצאה: 1.
אפשר כמון לקבל גם עטרה בעלת מספר אי זוגי של משולשים. דוגמה לכך תהיה ציור של כוכב באמצעות קו בודד המחולק לחמישה חלקים, כפי שמוצג בציור הבא:
זו כמובן דוגמה בלבד, ואפשר לשרטט עוד שלל שרטוטים היוצרים עטרות בעלות כל מספר אי-זוגי אפשרי של משולשים. אם נדמה לכם שבזאת מיצינו את כל האפשרויות הגיאומטריות, מצפה לכם הפתעה נחמדה בבלוג הבא, שם ננצל גם את משפט השטח.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
