הבה נפתח את הרעיונות שעלו בבלוגים הקודמים, באמצעות משפט שטח המשולש שלמדנו. הביטו בציור הבא:
חילקנו את הצלע AB (או c, כפי שנכנה אותה כאן) לשני חלקים: 'AC ו-C'B באמצעות אלכסון, וכך נוצרו שני משולשים בעלי שטח S1 ו S2 בהתאמה. נשתמש במשפט השטח כדי להבין מהו היחס בין השטחים הללו. כזכור, משפט השטח קובע ששטחו של כל משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן. ולכן:
כעת, מהגדרת הסינוס ומהעובדה שהצלע 'CC משותפת לשני המשולשים, נקבל כי:
כלומר קיבלנו שהיחס בין השטחים שווה ליחס בין שני חלקי הצלע שחולקה בידי האלכסון. נכנה את היחס הזה "מנת הצלעות".
כעת נבחן משולש שבו שלושת האלכסונים נחתכים בנקודה אחת ונסמן אותה באות O:
נכפיל את כל מנות הצלעות במשולשים שנוצרו, כפי שעשינו קודם לכן, ונקבל:
קיבלנו משפט חשוב: שלושת האלכסונים במשולש (משלושת הקודקודים לצלעות שמולם), שנפגשים בנקודה אחת, מחלקים את הצלעות כך שמכפלת מנת הצלעות היא 1. קל להוכיח שהכיוון ההפוך נכון, כלומר אם מכפלת מנות הקטעים היא 1, אזי שלושת האלכסונים נפגשים בנקודה אחת. נסו להוכיח זאת (רמז – השתמשו בדרך השלילה).
בעזרת משפט זה קל להוכיח ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת. התיכונים מחלקים את הצלע לשני חלקים שווים, לכן מעצם הגדרתם מנת הצלעות של כל תיכון היא 1. קל לקבל שמכפלת מנת הצלעות היא 1*1*1=1.
עבור חוצי זווית אפשר להוכיח, שוב באמצעות משפט השטחים, שמנת הצלעות שווה למנה שבין שתי הצלעות הנותרות במשולש. לדוגמה, אם האלכסון במשולש שהופיע בציור הראשון היה חוצה זווית, כלומר זווית 1 הייתה שווה לזווית 2, לכן (שוב על פי משפט השטחים) נקבל שמנת הצלעות שווה ל-AC/CB.
כעת, אם נשתמש בזה עבור המשולש שמופיע בציור 2, בהנחה שכל האלכסונים הם חוצי זווית, נקבל שמכפלת המנות היא:
וכך קיבלנו גם שכל חוצי הזווית נפגשים בנקודה אחת.
באופן דומה אפשר להוכיח שגם שלושת האנכים נפגשים בנקודה אחת (נסו להוכיח זאת).
כעת נחזור לרעיונות שהעלינו בבלוג הקודם. נבחר פונקציה כלשהי f, מוזרה ככל שתהיה, כשהתנאי היחיד יהיה שהפונקציה אינה מתאפסת עבור x כלשהו. נגדיר את המנות:
מדובר בחלוקה סימטרית, והמכפלה של המנות הללו תיתן תמיד 1. במובן זה, סימטריה היא תנאי מספיק.
במובן מסוים זו הרחבה של משפט חוצי הזווית, שבו כפי שראינו מנת הצלעות שווה לחלוקה של שתי הצלעות הנותרות במשולש. כלומר תוכלו לראות שמנת הצלעות מתקבלת על ידי הגדרה של הפונקציה הפשוטה f(x)=x.
הסימטריה מאפשרת לנו למצוא משפטים חדשים. הנה, לדוגמה, משפט שהעליתי בחקירתי שדומה לשלושת המשפטים הקלאסיים שראינו קודם. האלכסונים מכל קודקוד לנקודת אמצע היקף המשולש (כל נקודה שכזו תהיה כלואה בצלע שמול הקודקוד והיקף המשולש נחצה ביחס אליה) נפגשים בנקודה אחת. במקרה זה f(x)=p-x כאשר p הוא מחצית היקף המשולש.
לפנינו אם כן משפט שמזכיר את "משפטי העטרה" שהועלו בבלוגים הקודמים, כשמנת הצלעות היא 1. ועדיין נותרה השאלה איך שרטוט שרירותי לחלוטין מספק תוצאה מספרית קבועה?
בבלוגים הבאים נרחיב בנוגע לשאלה הזו וננסה לספק רמז לפתרונה.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
