הפעם נעסוק במערכת של מספר ישרים כלשהו, בהתבסס על המערכת של ארבעה ישרים שראינו בבלוג הקודם.
היזכרו בנוסחה שקיבלנו בבלוג הקודם:
נעיר רק שהנוסחה תקפה גם אם הישרFD אינו חותך את המשולש, אלא רק את המשכי צלעותיו. ההוכחה דומה. נסו למצוא אותה בעצמכם.
נתאר לעצמנו מערכת של n ישרים כלשהם, עם תנאי יחיד: אין אף נקודה שבה נפגשים שלושה ישרים שונים. אנו יודעים שכל רביעיית ישרים תקיים את הנוסחה שלעיל, אך מה אנו יכולים לומר על המערכת כולה?
לשם-כך נמספר את הישרים כרצוננו: 1, 2, 3... n. כל רביעייה של ישרים יוצרת מערך שהמשפט חל עליו. כדי לקבוע סדר חד-ערכי מותאם לציור נסדר את הרביעייה בסדר עולה: k ,j ,i, ו-l. ההתאמה בציור תקבע את מכפלת המנות, שהיא 1 .כל קטע מוגדר על ידי הישר הנחתך ושני חותכים, כלומר על ידי שלושה ישרים בלבד. אחד מהחותכים יהיה לעולם בעל המספר הגבוה ברביעייה, והוא עצמו לא ייחתך בה.
נעזר בשרטוט כדי להבין זאת טוב יותר.
נגדיר את ארבעת הישרים באופן הבא: DF=l ,DB=k ,AC=j ,CB=i
כעת שימו לב לקטע CE. הוא נמצא על j ונחתך על ידי i ו-l. כלומר, אנו זקוקים רק לשלושה ישרים כדי להגדיר אותו. מאחר שיכולות להיות רביעיות רבות שמכילות את שלושת הישרים הללו (רביעיות שמכילות את I-ו ,j ,i ורק הישר הרביעי k שונה), אזי הקטע הזה יכול להופיע פעמים רבות.
אם נכפול את כל מנות הרביעיות האפשריות עדיין נקבל 1. חישוב סבלני שלא נערוך פה מביא לתוצאה הבאה: אם נסמן את הישר הנחתך כ-a ואת הישרים החותכים כ-i ,b ו-l, ונגדיר את הקטע שנוצר מחיתוכו של a על ידי bו l - a(b,l). אזי נקבל את התוצאה הבאה:
הסימון שמופיע כאן באמצעות האות היוונית הגדולה פאי אומר שאנו כופלים את הביטוי המופיע מימין לאות זו כל עוד התנאי שמתחת לאות מתקיים. במקרה זה, במונה אנו כופלים את כל הביטויים שנוצרים על ידי כל האופציות ל-a,b,l,n שבהן מתקיים כי n>a>b, ובמכנה כל עוד מתקיים כי n>b>a
הבה נביא דוגמה מספרית לכך. נאמר שיש לנו מערכת בעלת ישרים רבים. נמספר אותה כפי שתיארנו קודם. הקטע מישר 7 שנוצר על ידי חיתוכו של ישר 7 על ידי הישרים 5 ו-11 יסומן בתור 7(5,11). במכפלה שבמונה הוא יופיע בחזקת 11+2*5-2*7-1=6. לעומת זאת, הקטע מישר 7 שנוצר על ידי חיתוך הישר עם ישרים 3 ו-9, כלומר הקטע 7(3,9), כלל לא ישתתף במכפלה משום שהחזקה שלו היא 9+2*3-2*7-1=0.
שימו לב! הישר n, שהוא בעל המספור הגבוה ביותר, לא יתרום קטעים לנוסחה. אך מאחר שהמספור שרירותי ושיש לנו n עצרת אפשרויות שונות למספר את הישרים, הנוסחה שלעיל מתארת n עצרת מכפלות שונות.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
