בבלוג 29 יצרנו מערכת של n ישרים ממוספרים והכפלנו את מנות כל הרביעיות האפשריות. מספר המכפלות האפשריות הינו: n!/4!*(n-4)! (הסימון n! נקרא עצרת ומשמעותו מכפלת כל המספרים מ-1 ועד n, כלומר 1*2*3*…..*n), וערך כל מנת רביעייה הוא 1. לכן, תוצאת מכפלת כל האפשרויות היא כמובן 1. באותו בלוג הראינו גם את הנוסחה הבאה, בלי לפרט את החישוב המדוקדק המוכיח אותה.
הנוסחה מראה מתי כל קטע מופיע במונה ומתי במכנה, ובאיזו חזקה. נזכיר שסימנו את הקטע a(b,l) בתור הקטע על ישר a שנוצר מחיתוכו של הישר זה על ידי הישרים b ו-l, כאשר l הוא הממוספר הגבוה ביותר ברביעייה.
כאמור, אף שהכפלנו את כל הרביעיות – לא כל הקטעים יופיעו במכפלה. במערכת של n ישרים, שכל אחד מהם חותך את כל השאר, כלומר כשאין אף זוג מקביל, אם נבחר את אחד הישרים הוא ייחתך על ידי כל אחד מ-n-1 הישרים הנותרים, כלומר נקבל n-1 נקודות על כל ישר. כל זוג נקודות קובע קטע שונה (שעשוי להכיל קטעים אחרים). כתוצאה מכך, כל ישר מכיל 2/n-1)*(n-2)) קטעים והמערכת כולה כוללת
n*(n-1)*(n-2)/2 קטעים.
לדוגמה: עבור מערכת של חמישה ישרים, כלומר n=5, מקבלים 30 קטעים שונים; במערכת של 10 ישרים, כלומרn=10 , יתקבלו 360 קטעים שונים. נראה שכמות הקטעים העצומה הזאת תיכנס לנוסחה וחישובה יהיה מסובך ביותר, אך כמות הקטעים שמופיעים בנוסחה לבסוף תהיה הרבה יותר קטנה. נדגים זאת על ידי הכוכב המחומש המופיע בציור:
לכוכב מחומש, כאמור, יש 30 קטעים שונים. אם נסתכל על הנוסחה נראה שכאשר נציב בה את מספרי הקטעים מתקבל שרק 18 קטעים מופיעים, אולם גם מתוכם, ארבעה מהקטעים מופיעים בחזקת 0, כלומר לא תורמים למכפלה. לכן נשארים לבסוף רק 14 (שמופיעים בחזקת 1 או 2) מתוך 30 הקטעים שהיו המקור, והם מוצבים לבסוף בנוסחה באופן הבא:
שימו לב: בגלל הגדרת החזקות יופיעו הקטעים a(b,l) ,b(a,l) בחזקות זהות.
כאשר הכוכב המחומש סימטרי, קל להיווכח שהנוסחה נכונה, כי יש רק ארבעה אורכים שונים לכל הקטעים, וכשמציבים אותם נוכחים שהם מבטלים זה את זה. אך הנוסחה תקפה גם לגבי כוכב לא סימטרי, שבו כל אחד מהקטעים שונה מהשאר!
למתענינים: נסו לענות על השאלות הבאות:
- מהו התנאי לכך שקטע יופיע בחזקת 0?
- מה מאפיין את כל הקטעים שכלל אינם מופיעים בנוסחה?
אם יש לכם רעיונות לתשובות, אתם מוזמנים לפרסם בפורום ואנו נדון בכך.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
