בבלוגים הקודמים עסקנו בתכונה מעניינת של מערכות ישרים במישור. אף שהישרים נבחרו באופן שרירותי, קיים קשר מספרי (שאותו ראינו) בין אורכי הקטעים הנוצרים מחיתוך הישרים זה בזה. כעת נרחיב את התמונה לכיוון אחר. עד כה התעסקנו רק בישרים עצמם, בנקודות החיתוך שלהם (נכנה אותן "קודקודים") ובקטעים שנקבעים על ידם. אולם יש גופים גיאומטריים נוספים שנוצרו כתוצאה מחיתוך הישרים. לדוגמה שטחים, שאותם נכנה "ארצות", וגבולותיהם הם קטעים, שאותם נכנה "צלעות".
צלע היא קטע של ישר בין שני קודקודים סמוכים, כלומר אין עליו קודקוד נוסף. ארץ הינה שטח שמוגבל על ידי צלעות, ולכן לשתי ארצות לא יהיה לעולם שטח משותף אך יתכן מצב בו ארץ אחת תקיף לחלוטין ארץ אחרת. בציור שלפנינו מסומנות כל הארצות, וסביבן הארץ שמקיפה את כל השאר (ארץ מספר 4 בציור).
.jpg)
על מערכת כזו חל משפטו המפורסם של המתמטיקאי הנודע אוילר, שלפיו מספר הקודקודים פחות מספר הצלעות ועוד מספר הארצות הוא תמיד 2. בציור שלפנינו קל לספור ולראות שהמשפט מתקיים. יש 6 קודקודים, 8 צלעות ו-4 ארצות, ואכן משפט אוילר מתקיים: 6-8+4=2 .
למשפט הזה יש מסקנות מרחיקות לכת: די לקבוע שניים משלושת המרכיבים ונוכל לדעת את והשלישי באופן חד-ערכי. אם נחזור למערכת של n ישרים שאין בה אף זוג ישרים מקבילים או אף קודקוד המשותף לשלושה ישרים, במערכת זו מספר הצלעות הוא (n*(n-2 ומספר הקודקודים הוא n*(n-1)/2. לכן, לפי משפט אוילר, מספר הארצות קבוע והוא:
.jpg)
לא משנה איזו מערכת של n ישרים (שמקיימים את התנאים לעיל) נבחר – נקבל תמיד את אותו מספר קודקודים ואת אותו מספר צלעות, ולכן גם את אותו מספר ארצות!
אם נסכם את כל מה שלמדנו, ראינו שלכל מערכות הישרים הנ"ל יש אותו מספר של קודקודים, צלעות וארצות ותוצאה זהה של מכפלות הקטעים המוגדרים באופן זהה. העובדות האלה מעלות את השאלה הבאה: אולי כל המערכות האלה דומות, כשכל ההבדל הוא שינוי הזוויות בין הישרים?
החשד מתחזק כשבוחנים רביעיות ישרים. הסתכלו על הרביעיות השונות באיור המופיע למעלה – כולן זהות, להוציא את הזוויות שבין הישרים. בכולן יש שני משולשים (1 ו-3), מרובע אחד (2), ומשושה אחד (הארץ המקיפה – 4). הבה נעבור לבחון גם חמישיות. הסתכלו בציור שלפניכם:
כאן כבר מתגלה ההבדל. בכוכב מחומש יש לנו חמישה משולשים (5-1), מחומש אחד (6) ומעושר אחד (7), ואילו בשני יש לנו: שלושה משולשים (3-1), שלושה מרובעים (6-4), ותשעון (7). כלומר מצאנו שני סוגים שונים של מערכות של חמישה ישרים. אלו אינם סוגי המערכות היחידים שיש בהן חמישה ישרים. אתם מוזמנים לנסות למצוא מערכות חדשות ולוודא שהן שונות מהשתיים שהצגנו בציור לפי מיון הצלעות והארצות שלהן.
והערה לסיום: משפט אוילר אינו מוגבל לישרים. הוא תקף לגבי כל מערכת עקומה.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
