בבלוג 36 העלינו שתי שאלות נפרדות. הבה נחזור אליהן ונענה עליהן. השאלה הראשונה נגעה לריבוע הקסם של דירר.
הראינו שלריבוע יש כמה תכונות מיוחדות ושאלנו אם התכונות האלו בלתי תלויות?
הבה נסתכל על התכונות הללו ונראה איך הן מתקבלות.
א. סכום האיברים הפנימיים בשורות 1 ו-4 הוא 34. סכום זה שווה לסכום איברי שורה 1 ועוד סכום איברי שורה 4 פחות סכום איברי הפינות.
ב. סכום האיברים הפנימיים בטורים 1 ו-4 הוא 34. סכום זה שווה לסכום איברי טור 1 ועוד סכום איברי טור 4 פחות סכום איברי הפינות.
ג. סכום איברי הריבוע הפנימי הוא 34. סכום זה שווה לסכום איברי שורה 2 ועוד סכום איברי שורה 3 פחות (סכום האיברים הפנימיים בטורים 1 ו-4.
שימו לב לחישובים שקיבלנו. מספיק לקבוע שהסכום של כל שורה ועל טור הוא 34, ואז ברגע שדואגים שגם סכום איברי הפינות יהיה 34, כל התכונות המופיעות לעיל תתקיימנה. כלומר התכונות האלה תלויות זו בזו.
השאלה השנייה שהעלינו נגעה למכפלת ריבועי קסם. הדגמנו מהו הריבוע המתקבל ממכפלת ריבוע A בריבוע B. כש-B הוא הריבוע של דירר שהופיע לעיל ו-A הינו הריבוע שמצאנו בבלוג 33:
הגדרנו שאם A הוא התבנית ו-B הוא המילוי, נכנה את תוצאת המכפלה A*B, ושאלנו אם A*B זהה ל-B*A. התשובה לזה שלילית. כפל ריבועי קסם אינו חילופי. כדי להדגים זאת מספיק להראות שמשבצת אחת בשתי המכפלות שונה. נבחן את ערך המשבצת הימנית התחתונה.
במקרה של A*B, ערך המשבצצת הימנית התחתונה בריבוע A הוא 2, לכן נחליף משבצת זו בריבוע B, לאחר שהוספנו לערכיו 16. כעת נבחן שוב מהי המשבצת הימנית התחתונה שהתקבלה, והתוצאה שנקבל תהיה 1+16=17.
עבור הריבוע B*A, התבנית היא B, ולכן נסתכל תחילה על ערכה של המשבצת הזו בריבוע של דירר ונראה שהוא 1. לכן אין צורך להזיז את ערכי ריבוע A, אלא פשוט להסתכל על המשבצת הימנית התחתונה ונראה שהיא 2.
קיבלנו תוצאה שונה, והוכחנו כך ש-A*B שונה מ-B*A.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
