נחזור אל ריבועי הקסם, אך הפעם במבט אלגברי:
מיהם היצורים האלה? האם הם תופעות שוליות מבדרות, כל אחד שעשוע בפני עצמו, או שאולי הם חלק ממערך רחב יותר שניתן להחיל עליו כללים מתמטיים מוכרים ממערכות אחרות?
לפנינו מבנה ריבועי ובו n*n תאים, כשכל תא מכיל מספר. מבנה כזה, שיכול גם להיות מלבני, קרוי מטריצה.
במטריצה כללית יכולים להופיע כל המספרים, ולעתים גם ביטויים לא מספריים. בריבוע קסם, בהגדרתו החמורה, מתקיימים הכללים הבאים:
1. מופיעים בו כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד n2.
2. הסכום של כל שורה וכל טור זהה.
3. הסכום של כל אחד משני האלכסונים זהה לסכום של כל שורה או טור.
בבלוגים הקודמים הראיתי איך אפשר "להכפיל" ריבוע קסם. לפי הגדרת הכפל שהבאתי, אם נכפיל כל ריבוע מסדר m בריבוע מסדרn נקבל ריבוע קסם מסדר m*n.
מה לגבי חיבור?
ראשית עלינו להגדיר מהו חיבור של ריבועי קסם. ההגדרה הטבעית, שתקפה לגבי כל מטריצה, היא שמחברים זה לזה את האיברים שנמצאים במקומות מקבילים בריבוע (למשל מחברים זה לזה את האיברים המצויים בפינה הימנית העליונה של הריבועים, והסכום יופיע בפינה הימנית העליונה בריבוע החדש). שימו לב שההגדרה הטבעית הזו מבטלת את האפשרות הרחבה יותר שהיתה ב"כפל" ומאפשרת לחבר רק ריבועים מאותו סדר.
לשם המחשה, ננסה לחבר ריבוע מסדר 3 עם אותו ריבוע אחרי שסובבנו אותו 90 מעלות בכיוון השעון:
אם נבדוק בעיון נגלה שקיבלנו ריבוע שמקיים את כללים 2 ו-3, אך במקום כלל 1 הוא מקיים רק את התנאי "מופיעים בו רק מספרים טבעיים".
וומה לגבי חיסור?
נגדיר אותו בדומה לחיבור, אולם עתה ריבוע ההפרש עלול להכיל 0 או מספר שלם שלילי, לכן כלל 1 יצטמצם עוד וישונה ל"מופיעים בו רק מספרים שלמים" (נכנה אותו: "כלל 1 המצומצם").
עוד רעיונות יובאו בבלוג הבא וסעיפים יוסיפו להשתנות. עד אז חישבו על האתגר הבא:
הוכיחו שאם ישנם שני ריבועים A ו-B שמקיימים את כלל 1 המצומצם ואת כללים 2 ו-3, אזי לפחות באחד משני ההפרשים ביניהם (A-B, B-A) מופיעים אפסים או מספרים שליליים בכל אחד מהטורים, השורות או האלכסונים שבו.
ושאלה קצת יותר קשה למתעניינים:
לכל סדרn מצאו ריבוע קסם שסכומיו 0, שמכיל את המספר הקטן ביותר של איברים שליליים (נדרוש הפעם את קיום כלל 1 המצומצם, ולא את המלא).
התשובה – בבלוג הבא.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
