נפתור את שני האתגרים מבלוג 39:
האתגר הראשון: נוכיח שאחד ההפרשים של ריבועי הקסם A ו-B מכיל בהכרח אפסים או מספרים שליליים בכל שורה, טור ואלכסון:
א. בכל אחד מהשניים קיים סכום קבוע לשורה, טור ואלכסון, לכן הסכום באחד מהם, למשל A, חייב להיות קטן או שווה לסכום ב-B.
ב. הסכום ב-(A-B) הוא הסכום ב-A פחות הסכום ב-B.
(א+ב). ולכן ב-(A-B) הסכום של כל שורה, טור או אלכסון יהיה קטן או שווה ל-0 – וזה ייתכן רק אם כל שורה, טור ואלכסון יכילו אפסים ו/או מספרים שליליים!
והנה הוכחנו.
האתגר השני, הקשה יותר, היה למצוא לכל סדרn ריבוע קסם המקיים את כלל 1 המצומצם, שסכומיו 0, המכיל המספר מינימלי של אפסים או שליליים.
ההיגיון אומר שעלינו להציב בכל שורה, טור ואלכסון של הריבוע ערך שלילי גדול אחד שיהיה שווה לסכום הערכים החיוביים, כך שהסכום הכולל יהיה שווה ל-0 ומספר השליליים יהיה מינימלי (אחד לכל שורה, טור או אלכסון).
נציב מספר שלילי קבוע בתמורה (פרמוטציה): לכל שורה נבחר טור בצורה חד-חד-ערכית, כלומר כל הטורים שונים.
זה יבטיח רק ש-n השליליים שייבחרו יהיו בכל השורות והטורים, ולאו דוקא באלכסונים. לכן עלינו לבחור פרמוטציה שיהיה בה מספר שלילי יחיד גם בכל אלכסון. ואכן כאשרn גדול מ-3 נוכל תמיד להסתפק ב-n שליליים.
הערך של כל שלילי יהיה (n-1), וכל שאר האיברים ערכם הוא 1 (ראו ציור 1). ברור שככל ש-n גדול יותר כך יהיו פתרונות רבים יותר להצבת השליליים (גם לגבי 4,5 המופיעים בציור קיימים פתרונות נוספים ואתם מוזמנים לנסות למצוא!).
אך עבורn=3 המצב מפתיע: אין דרך להציב את הערך (2-) ב-3 משבצות, כשכל אחד נמצא בטו שונה או שורה שונה ורק אחד בכל אלכסון – לכן כל פתרון יכלול לפחות חמישה אי-חיוביים!
להלן פתרון על ידי חיסור של 5 מכל ערך של הריבוע הקלאסי מסדר 3. נסו למצוא פתרונות נוספים.
ציור 1
ומה אם נרצה שהסכום הקבוע של ריבוע הקסם יהיה m?
במקרה כזה נפעל בדומה למה שעשינו עבור סכום אפס, אבל הפעם כל שלילי (n+m-1) יהיה במקום (n-1).
עד הבלוג הבא חישבו איך הייתם מגדירים כפל של ריבוע במספר כלשהו, נניח 3, ואיך הייתם מחלקים בו?
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
