בבלוגריתמוס 42 הפניתי אליכם את השאלה הבאה: "במעגל שבו בכל m רצופים יש n שקרנים, מה אפשר לומר על מספר השקרמתים?"
נציג את הפתרון הנכון והמלא:
אם n שווה ל-m: אזי כל מספר (כל שקרן) אומר על הבא אחריו שהוא דובר אמת.
אם n קטן מ-m: אם אין להם מחלק משותף, אזי המספר הוא כל כפולה של m; אם יש מחלק משותף, למשל aהוא המחלק המשותף המקסימלי של mו-n, אזי המספר הוא כל כפולה של m/a.
לדוגמה, אם m=12 ו-n=9, אזי a=3, ונוכל לסדר את המעגל כך שבכל רביעיה יהיו שלושה שקרנים. לכן נוכל לקבל גם פתרון של 16 שקרמתים שביניהם 12 שקרנים, אף ש-16 אינו כפולה של 12. בדוגמה זו, הרביעייה הראשונה תהיה זאת: שקרן ("הבא דובר אמת"); שקרן ("הבא דובר אמת"); שקרן ("הבא שקרן"); דובר אמת ("הבא שקרן"); והרביעייה הבאה תתחיל שוב בשקרן וכך ייסגר המעגל.
כעת נחזור שוב לביקור בשקרמתיה – הארץ הקסומה אך הגיונית שבה כל שַקְרֶמֶת הוא דובר אמת מוחלט או שקרן מוחלט, בלי שום פשרות או טיפוסים שמתנודדים בין אמת לשקר, שמוכרים לנו היטב מארצנו. במהלך ביקורי האחרון שם נתקלתי עם ליל בחבורה גדולה של שקרמתים שישבו במעגל מדויק סביב מדורה ושרו שירים שקרמתיים תוך צליית תפוחי אדמה. כששאלתי מהי הקבוצה ולמה היא יושבת בסדר כל-כך מדויק, קיבלתי את התשובות הבאות מחמישה שקרמתים שונים:
א) אנו 93 שקרמתים, ואנו יושבים כך שבכל ארבעה משתתפים רצופים קיימים שלושה שקרנים בדיוק.
ב) אנו 94 שקרמתים, ובכל חמישה רצופים יש שלושה שקרנים.
ג) אנו 95 שקרמתים ובכל שישה רצופים יש ארבעה שקרנים.
ד) אנו 98 שקרמתים ובכל שמונה רצופים יש ארבעה שקרנים.
ה) אנו 97 שקרמתים ובכל n רצופים, ולא אספר מהו ה-n, יש מספר קבוע של שקרנים.
ניסיתי בכל כוחי לפענח את האמת, אך נוכחתי עד מהרה שבשלב זה איני מסוגל לכך. ברוב יאושי פניתי לשקרמתים והתחננתי שיתנו לי עוד רמז. כשאמרתי זאת החלו החמישה לריב, וחלק מהביטויים לא היו ראויים לציטוט. עד שאחד מהם, שלא יכולתי לזהותו, קרא לשני "שקרן!" – ואז פניתי אליהם ואמרתי שאין עוד צורך לריב, כי אני יודע כבר את האמת, ואפילו את סדר הישיבה. ואף שבחושך לא ראיתי מי קרא למי שקרן, ולכאורה האפשרויות רבות, צמצמתי אותן לפחות ממחצית.
ואני מפנה אליכם את השאלות הבאות:
1) כמה אנשים יש במעגל?
2) כמה מהם שקרנים וכמה דוברי אמת?
3) מהו סדר הישיבה שלהם?
4) ומדוע לא יכולתי לפתור את הבעיה עד ששמעתי את הקריאה "שקרן"?
הפתרון דורש חשיבה קפדנית. נסו לפתור. את הפרון נציג בבלוג הבא.
את תשובותיכם נא שילחו ל-paziam1@gmail.com. שמות הפותרים נכונה יפורסמו בבלוגריתמוס הבא.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
