אם, גולשים יקרים, יש ביניכם כאלה שקוראים גם את סיפורי "ד"ר לא", תגלו שהסיפור "לשון הכפל" עוסק בלוח הכפל, אך מזוויות מפתיעות. גם בבלוג זה נעסוק בו מזוית אחרת. התבוננו בו:
זוהי טבלה בגודל של 10x10, שמצורפות אליה עמודת הכופלים משמאל ושורת הנכפלים מעל. ניתן לתאר את הפעולה בו באופן הציורי הבא: כל כופל כמו שולח "לשון", מלבן צר שעוביו שורה, לרוחב הלוח – וכל נכפל שולח לשון עמודה אנכית לאורכו. כששתי הלשונות נפגשות, נוצרת משבצת שמציגה את תוצאת הכפל של שני המספרים. ואם לסכם, כדי לייצג כפל אנו צריכים ציור משובץ בשני ממדים שבו מאה משבצות. האמנם?
ראשית: למה מאה? אמת, השיטה העשרונית חשובה, אך ככל שהמתמטיקה מתקדמת אנו נפתחים ונזקקים גם לבסיסים לא עשרוניים, ובמיוחד לבסיס הבינארי. וגם אם נישאר בבסיס העשרוני, למה להיעצר דווקא ב-10x10? הרי לא פעם אנו זקוקים למכפלות גדולות יותר.
התשובה היא שגם בכפל ארוך, בכל צעד נזדקק רק לתוצאה של ספרה כפול ספרה, וזה בדיוק מה שמספק לנו לוח הכפל המסורתי. מעלתו המעשית הנוספת היא שקל לזכור אותו בעל פה, בעוד שלוח בגודל של 30x30 עלול כבר להקשות על זיכרוננו יותר... שלא לדבר על 1,000x1,000. כך שעקרונית לוח כפל יכול להיות בגודל של כל nxn , אך מעשית הלוח שגודלו 10x10 הוא היעיל ביותר בשיטה העשרונית.
שנית: האם הלוח חייב להיות משובץ? ובכלל – למה לוח? יכולנו לכתוב על דף מאה תוצאות כפל בסדר כלשהו או בתפזורת, ועדיין כל המידע שבלוח היה כלול גם בדף!
יכולנו, אבל לא כדאי לנו. בהשוואה ללוח, תהליך ההעלאה או ה"דיג" של מידע מרשימה ארוכה שתתפרס על כמה דפים – פשוט אינו יעיל. לא סתם אנו משתמשים בלוחות, טבלאות וגרפים כדי לייצג נתונים שאולי קודם אספנו ברשימות. חוש הראייה – החוש האנושי הדומיננטי ביותר – קולט כך לא רק פרטי מידע, אלא גם מבנים, תהליכים וכו'.
ושלישית: האם באמת יש הכרח במשבצות? ניווכח שזו שאלה חשובה שתוביל אותנו הרחק. הביטו בציור:
במקום לוח משובץ - יש לנו סריג, והמכפלה לא מיוחסת למשבצת אלא לנקודה. בשלב ראשון נראה שאף שהשיטה בזו לגיטימית, היא פחות נוחה לעין וכדאי לנו להישאר במשבצות. אבל היא גם מביאה אותנו לשאלה היסודית: האם ניתן לתאר את הכפל בציור דו-ממדי? - והתשובה היא חד-משמעית: לא!
עד כה הסתפקנו במספר סופי של מכפלות, אבל למעשה אנו נזקקים לאינסוף מכפלות של כל מספר ממשי בכל מספר ממשי. את זה אפשר להמחיש, בלי למספר כל מכפלה ,על ידי המשטח התלת-ממדי x*y=z :
תרשים מס' 3: השרטוט שלעיל מתאר קופסה מ-5- ועד 5+ של שלושת הצירים.
ועתה, שתי משימות למעוניינים:
- נסו לתאר את תכונת המשטח. נסו לתאר מה קורה בחלק ה"חיובי" של המרחב, כאשר עבור x,y בין 0 ל-10 המשטח הזה מקביל ללוח הכפל!
- ראינו בציור הסריג איך בעזרת עשרים ישרים אופקיים ואנכיים אפשר לייצג את לוח הכפל, נסו לייצג אותו בעזרת עשרה ישרים בלבד.
התשובות – בבלוג הבא.
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
