בבלוגריתמוס 49, שעסק בלוח הכפל, ציינו שאנו מציינים את מאה המכפלות הכלולות בלוח על ידי מאה מפגשים של עשר רצועות אופקיות ועשר רצועות אנכיות, שיוצרים מאה משבצות, או על ידי שריג שבו עשרה ישרים אופקיים מקבילים נחתכים בעשרה ישרים אנכיים במאה נקודות חיתוך.
הצבנו אתגר: איך נייצג את מאה המכפלות בעשרה ישרים במקום עשרים?
אם הייצוג נעשה על ידי נקודות חיתוך, הרי לשני ישרים לא מקבילים יש רק נקודת חיתוך אחת, ולכן לכל ישר יש תשע נקודות חיתוך בשאר הישרים, כשכל נקודת חיתוך משתייכת לשני ישרים, בסך הכל מתקבלות כך רק 9*10/2=45 נקודות. איך נייצג בעזרתן מאה תוצאות?
נתבונן בלוח הכפל:
האלכסון החוצה את משבצות האלכסון הראשי יוצר שני חצאים סימטריים לגבי האלכסון.
המספרים הנמצאים במשבצות סימטריות הם זהים, דבר שנובע מתכונת החילופיות של הכפל: xy=yx, שמשותפת גם לחיבור: x+y=y+x.
כל כך התרגלנו לחילופיות, עד שלעתים נדמה כאילו זו תכונה משותפת לכל פעולה אפשרית, אך למעשה זוהי תכונה נדירה יחסית! די אם נתבונן בשלוש פעולות החשבון הנותרות: a-b שונה מ-b-a, החלוקה a/b שונה מ-b/a, ו-ab שונה מ-ba.
אבל בכפל החילופיות קיימת, ובזכות זה נוכל לוותר על הייצוג של 45 המשבצות הסימטריות במשולש העליון ולהסתפק בייצוג שאר 55 התוצאות בעזרת 45 החיתוכים של עשרת הישרים.
כעת נותר לנו להשלים את עשר התוצאות החסרות. אלה הן התוצאות שרשומות באלכסון, מכפלות עשרת המספרים בעצמם, או בלשון גיאומטרית – חיתוך הישר בעצמו, שהוא הישר עצמו.
מאחר שמסובך לצייר עשרה ישרים, נדגים זאת בלוח כפל של 5*5. בקצה אחד של כל ישר נרשום את הספרה שהוא מייצג ובקצה השני את המספר בריבוע כפי שהוא מופיע באלכסון – ובנקודות החיתוך את תוצאת המכפלה של שני הישרים שנחתכים בהן:
והנה הצלחנו ליצור לוח כפל של 5*5 באמצעות חמישה ישרים במקום עשרה! באופן דומה אפשר ליצור לוח כפל של מאה באמצעות עשרה ישרים במקום עשרים.
להתראות,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
