בבלוג 52 הצבנו אתגר קשה: למצוא כלל, או בלשון אחרת "משפט גיאומטרי", שיגדיר באלו תנאים ייפגשו בנקודה משותפת שלושה אלכסונים (הכוונה כאן במילה "אלכסונים" היא לקטע היוצא מקודקוד ומגיע אל הצלע שמולו) כלשהם במשולש.
ננסה להמחיש את מהות הדרישה בדוגמה לא מתמטית: האם המילה "ישראל" שוות ערך להגדרה, "המדינה שקמה ב-15 במאי 1948" ? די בעיון מהיר בגוגל כדי לאשר שאכן ישראל קמה בתאריך הזה, ולכן "מדינת ישראל קמה ב-15 במאי 1948" הוא משפט אמת, אך האם נובע מכך ש"המדינה שקמה ב-15 במאי 1948 היא ישראל"? לוגית, ודאי שלא! אולי קמו עוד מדינות באותו תאריך? כדי לבדוק את זה עלינו לבדוק היסטורית את מועדי ההקמה של כל המדינות בעולם ולהשתכנע שישראל היא היחידה שעונה להגדרה, ורק אז שתי ההגדרות תהיינה שקולות ותוכלנה להחליף זו את זו.
האם פירוש הדבר שהן התאומות היחידות? לא ולא! – אפשר ליצור אינסוף הגדרות שוות ערך ושקולות ל"ישראל". למשל: "המדינה שראש ממשלתה הראשון היה דוד בן גוריון". לעומת זאת, ההגדרה "מדינה השוכנת לחופי הים התיכון" לא תהיה שקולה ל"ישראל", כי יש עוד כ-20 מדינות אחרות השוכנות לחופי אותו ים.
אם נחזור לבעיה המקורית, המשימה שלפנינו היא למצוא תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלושת אלכסוני המשולש ייפגשו בנקודה אחת. והרי לכם פתרון משעשע אחד: התנאי הוא שהשלושה ייפגשו בנקודה אחת, וזה אכן תנאי הכרחי ומספיק. מה לא בסדר בו? שלא למדנו ממנו דבר, כמובן. כך יהיה גם אם נסווה זאת במשפט ערמומי כמו "התנאי הוא שהאלכסון השלישי יכלול את נקודת החיתוך של שני הראשונים" .
אנו מחפשים כלל שירחיב את הסתכלותנו המתמטית, כפי שתאריך הקמת המדינה מעשיר את ידיעתנו על ישראל. ועתה, הזדמנות נוספת לאוהבי הגיאומטריה: לפניכם השרטוט שבעזרתו ניתן להגיע לכלל הזה. ונצרף בשבילכם גם רמז: הכלל ניתן בעזרת יחסי החלוקה של הצלעות, ויש לזכור ששטח משולש הוא מחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.
נסו ותצליחו. ההוכחה – לא היחידה – בבלוג הבא.
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
