בבלוג זה נשלים את הנושא שבו טיפלנו בבלוג הקודם: התנאים ההכרחיים והמספיקים למפגש של שלושה אלכסונים כלשהם במשולש.
בבלוג הקודם נוכחנו שתנאי כזה הוא "מכפלת שלוש מנות הצלעות היא 1". הפעם נגלה משפט מעניין שיוצר סימטריה בין צלעות וזוויות. לכאורה זה מפתיע, כי לצלע יש ממד אורך ואילו זוית היא נתח מישור. איך אפשר בכלל להשוות ביניהן?
ובכן, כבר מצאנו סימטריה באחד המשפטים הידועים האומר: "במשולש, שתי השוקיים שוות אם ורק אם שתי זויות הבסיס שוות, ובהרחבה – אם שלוש הזוויות שוות, המשולש הוא שווה צלעות. ונוסיף הערה, לאחר הוכחת המשפט הבא:
לשלושה אלכסונים במשולש יש נקודת חיתוך משותפת אם ורק אם מכפלת מנות הסינוסים של זוויות המשולש היא 1. כלומר:
sin1/sin2*sin3/sin4*sin5/sin6=1
על פי נוסחת שטח המשולש (במקרה שלשני המשולשים יש אנך משותף) נקבל שהיחס הבא מתקיים:
AC'/C'B=1/2(CC'*b*sin5)/1/2(CC'*a*sin6)=bsin5/asin6.
ולאחר חישוב דומה של שאר מנות הצלעות, אם ננצל את המשפט הקודם על מכפלת מנות הקטעים ((AC'/C'B*BA'/A'C*CB'/B'A=1, נקבל את המכפלה הבאה:
bsin5/asin6*csin1/bsin2*asin3/csin4=sin5/sin6*sin1/sin2*sin3/sin4=1
והוכחנו!
עתה נוכל לדייק: ההקבלה שקיבלנו אינה בין קטעים לזוויות, אלא בין יחסי קטעים ליחסי סינוסים! יחסי קטעים הם אורך מחולק לאורך, ומתקבל ממנו מספר טהור ללא ממד. הסינוסים מוגדרים מראש כניצב מחולק ביתר, אורך מחולק באורך, ולכן גם הם מספרים ללא ממד. הסימטריה במקרה הזה היא בין מספרים, לא בין ממדים שונים.
שני המשפטים החשובים האלה קרויים משפט צ'בה ומשפט צ'בה הזוויתי. בעזרתם אפשר להוכיח בקלות את המשפטים הידועים:
מפגש התיכונים: מכפלת מנות הצלעות היא 1*1*1=1.
מפגש חוצי הזווית: מכפלת מנות הסינוסים היא 1*1*1=1.
מפגש האנכים: אם נציב AC'/C'B=cotanA/cotanB וכנ"ל לגבי השאר, ונכפול את מנות הקטעים, נקבל 1.
כל טוב!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
