כולנו תוהים: היש חיים מחוץ לכדור הארץ, על כוכב לכת אחר אי שם ביקום? בחלליות שנשלחו לחקור את היקום התקינו לוחות שעליהם שרטוטים עם מידע בסיסי על קיומנו, בתקווה שאם ייפלו בידי יצורים תבוניים מתקדמים הם ידעו לפענח אותו.
הבה נדמיין שסוכנות החלל הישראלית שלחה חללית למרחבי היקום ובה לוח שעליו נכתב "שלום עליכם!" לתדהמתנו, מקץ דורות אחדים מגיעה לכדורנו חללית זרה ובה לוח שעליו נכתב: "תמזן! פמכלן?"
בישראל הגאווה עצומה: החייזרים משתמשים באותיות עבריות! אך מה לעזאזל כתוב שם בחייזרית? מיטב המוחות בשטחי ההצפנה והשפות השמיות בעולם גויסו לפצח את הצופן, אך לשווא. עד שמתי מתוק העיף עין בכתוב ואמר, "קלי קלות! החייזרים פשוט דוברי עברית וכותבי כמעט-עברית! כל השינוי הוא שהם מזיזים כל אות אל האות שבאה אחריה, אות סופית לסופית שאחריה, סימן קריאה במקום רווח בין מילים, וסימן שאלה במקום סימן קריאה, ומה שכתוב שם הוא פשוט: 'שלום עליכם!' ".
אכן מדהים לגלות ששתי תרבויות שלא היה ביניהן שום קשר במיליארדי השנים האחרונות משתמשות בשתי שפות דומות, עד כדי כך שכל אחת מהן היא תרגומה המדויק של השפה השנייה בעזרת כללים פשוטים ביותר! שתיהן אותה שפה בשתי תחפושות שונות.
גם בכדורנו אנו מתרגמים משפה לשפה, ואת התנ"ך למשל תרגמו למאות שפות וניבים, אך אין שום שפה חיה שזהה בשלמות לשפה אחרת ונבדלת ממנה רק בתחפושת. לכן מלאכת התרגום היא עבודה קשה שלעולם אי אפשר לדייק בה בשלמות. הדבר נובע מהאופן שבו שפות מתפתחות, כך שגם שפות אחיות שהתפצלו מאותה שפה קדומה אינן זהות זו לזו.
אך השפות המתמטיות אינן מתפתחות כמו שפות דיבור. הן נבנות על פי כללים מדויקים וחמורים, ולכן אם נצליח לחדור מבעד לתחפושות נגלה שלעתים שפות שחשבנו אותן לשונות – הן למעשה זהות!
הדוגמה המפתיעה – ואולי כבר לא מפתיעה – היא הזהות של החיבור והכפל!
כדי לגלות זאת עלינו להגדיר בדיוק רב את תחומי שתי השפות הללו ואת כללי התרגום ביניהן:
בחיבור – התחום הוא כל המספרים הממשיים: חיוביים, שליליים ואפס.
בכפל – כל הממשיים החיוביים.
כללי התרגום – לשם הפשטות נשתמש בפונקציה לוגריתם לפי בסיס 10.
נזכיר שהלוגריתם שלx הוא החזקה של 10 שערכה הוא x
10logx= x .
לדוגמה: הלוגריתם של 10 הוא 1 והלוגריתם של 100 הוא 2.
כללי התרגום הם: x מתורגם לlogx-; סימן הכפל מתורגם לסימן החיבור. ולכן המבחן לזהות השפות יהיה: שוויון שתקף בכפל יהיה תקף גם בתרגומו לחיבור.
נדגים זאת בשוויון הבא: 10*100=1,000
נתרגם לחיבור: אגף שמאל יתורגם ל: log10+log 100=1+2=3
אגף ימין יתורגם ל- log1,000=3
ואכן קיבלנו שוויון, כלומרlog10+ log100=log1,000 : – והשפות זהות! לפי הפתגם הידוע, "אותה הגברת בשינוי אדרת".
חשוב להדגיש: הזהות אינה מתקיימת לגבי מספרים שלמים בלבד, אלא לגבי התחום כולו. הסיבה היא שתרגום המספרים הטבעיים בכפל לא נותן מספרים טבעיים בחיבור. לדוגמה: log200 הוא בערך 1.301. הזהות מתקיימת אך ורק לגבי התחומים בשלמותם.
התרגום ההפוך, מחיבור לחיסור, הוא: X עובר ל-.10x
מבנים מתמטיים זהים אך "מחופשים" קרויים מבנים איזומורפיים. לאיזומורפיזם יש חשיבות רבה, כי די לחקור מבנה יחיד כדי לתרגם את התוצאות לכל השאר. משפט שעוסק בכפל יתורגם כך למשפט שעוסק בחיבור, ולהיפך.
חג פורים שמח!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
