בבלוג 58 תיארנו איך המתמטיקה, כבמשחק לגו, מרכיבה מבנים שלמים מיחידות פשוטות. דימוי נוסף יכול להיות בניית מולקולה מאטומים. הפעם נלך בבלוג צעד אחד קדימה ונראה איך מרכיבים מבנה-על מקבוצה של מבנים.
למתמטיקה יש שיטות רבות להרכבות כאלה, אבל אנחנו נתרכז בשיטה פשוטה אך יעילה להפליא שקרויה "מכפלה ישרה". נמחיש אותה בדוגמה המוכרת לכולם: עיר!
העיר מורכבת ממבנים רבים, שכל אחד מהם ניתן לזיהוי בנפרד אך השילוב ביניהם יוצר מהות-על הקרויה "עיר". להמחשה - ניצור עיר מתמטית שיש בה שני מבנים בלבד. המבנים שבחרנו פשוטים למדי: השאריות של 2 והשאריות של 3 לגבי החיבור.
המבנה הראשון מורכב מ-0,1; המבנה השני מורכב מ-0,1,2; הפעולות שהופכות את המספרים למבנה הן חיבור שאריות. לדוגמה, במבנה הראשון 1+1=0, במבנה השני 2+2=1 ,1+1=2.
עכשיו ניצור "מבנה-על" המכיל את שני המבנים באופן הבא: הוא יורכב מכל הזוגות הסדורים שצורתם ,(a,b) כאשר השמאלי הוא שארית לפי 2 והימני הוא שארית לפי 3. נקבל שישה זוגות שאם נסדרם בסדר עולה נקבל: (0,0), (1,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2).
ניצור בין כל שני זוגות האיברים פעולה שתשמש חיבור בין שתי פעולות החיבור של השאריות: את השמאליים נחבר לפי שאריות 2 ואת הימניים לפי שאריות 3:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
לדוגמה: (1,2)+(1,1)=(0,0).
קיבלנו שישה איברים ופעולה – אך מהו המבנה הבלתי מוכר שיצרנו?
תתפלאו – זה מבנה שאתם כבר מכירים, אך כדי לגלותו נשנה את סדר הזוגות באופן הבא:
נתחיל ב-(1,1) ובכל פעם נוסיף את .(1,1)
נקבל את הסדרה הבאה: (1,1) , (0,2), (1,0), (0,1), (1,2), (0,0)
מה שקיבלנו הוא מבנה מתמטי שבו איבר (1,1) שכפולותיו במספרים 6-1 יוצרות את כל איברי המבנה. כפולתו ב-6 יוצרת את האיבר (0,0), ואילו כפולתו ב-7 היא שוב (1,1) וחוזר חלילה. זו בדיוק תכונתן של שאריות 6 לגבי החיבור, כש(0,0)- הוא ה-0 ו(1,1)- הוא ה-1. הזוגות הן מעין "תחפושת", תרגום מדויק של חיבור שאריות לשפה שמסמנת את האיברים בסימון של זוגות במקום מספרים יחידים.
במקביל לעיר – אנו יכולים עדיין לזהות את המבנים הנפרדים: "שאריות 2" מיוצגות על ידי (0,0) ו-(1,0) ואילו "שאריות 3" על ידי (0,1), (0,2), (0,0). וזה מצב מעניין: יש להם אפס משותף וארבעה איברים ביחד שני האיברים הנותרים – (1,1), (2,1), שהם האיברים שאינם מכילים 0, אינם כלולים בבנייני המקור – הם התוספת שהופכת שני בנינים נפרדים ל"עיר" ששמה "שאריות 6".
ראינו שהמכפלה הישרה של "שאריות 2" ב"שאריות 3" יצרה מבנה איזומורפי (עיינו בבלוג 62) לשאריות 2x3=6 - ועולה שאלה מעניינת: האם כל מכפלה ישרה של שאריות יוצרת שאריות של מספר הכפולה?
חישבו על זה. בבלוג הבא נדון בכך ואף נרחיב.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
