בבלוג 72 העלינו שאלות אחדות הדורשות שיקול, דעת, ושיקול-דעת. כולכם יודעים ש-a/b+c/d=ad+bc/bd ולא a+c/b+d. מטרת הבלוג הייתה להשתמש בהטעיה גלויה כדי להבהיר עקרונות מתמטיים חשובים ולהצביע על אפשרויות להטעיה סמויה.
ברור שהעובדה ששתי המשוואות שקולות אינה מעידה על אמיתותן. לדוגמה, המשוואה 6=7 שקולה ל-12=14. אילו האחת הייתה נכונה היינו מסיקים ממנה את נכונות השניה. כך שלא די שהמשוואות תהיינה שקולות, אלא הדרישה היא שאחת מהן תהייה נכונה בוודאות.
בנוסף, הצבת ערכים במשוואה שמובילים לשוויון אינה מספיקה במתמטיקה כדי להוכיח את נכונות המשוואה.
המתמטיקה מלאה השערות. הדוגמה המפורסמת שדנו בה פעמים רבות הייתה "משפט" פרמה. את המילה "משפט" הכנסנו כאן למירכאות כי במשך מאות שנים היא הייתה בגדר השערה – ולא סתם השערה, אלא עבור אינסוף ערכים הצטברו הוכחות שזו השערת אמת, אך בכך לא היה די. רק לפני זמן לא רב הוכחה ההשערה לגבי כל מספר טבעי וההשערה הפכה למשפט.
יש עוד השערות רבות עם הוכחות חלקיות שמצפות להוכחה כוללת או להפרכה. אחת הדוגמאות המפורסמות היא ההשערה שכל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים. אולי אחד מכם, קוראי הבלוגריתמוס, יהיה האדם שישיב תשובה נחרצת בנוגע להשערה הזו...
במובן זה של "הוכחה", המתמטיקה שונה באופן מהותי מהביולוגיה. לדוגמה, אם ביולוג ימצא אלף זבנוקיקים בעלי זנב אחד, הוא יקבע שלזבנוקיק יש זנב יחיד ואם יימצא זבנוקיק בעל שני זנבות הוא ייחשב מוטציה. הקביעה הזו אינה מוחלטת – אם יתגלה פתאום אי ובו מיליון זנבנוקיקים בעלי מספר משתנה של זנבות, הביולוג ישנה את הגדרתו, וזה המהלך התקין של המחקר בתחום. לעומת זאת, במתמטיקה משפט שהוכח כהלכה (היו כמובן גם מקרים של הוכחות שגויות) אינו משתנה לעולם.
נסיים בניתוח הרמאות הערמומית של רחל בבלוג הקודם: לא הייתה כל מקריות בבחירות שלה וכולן הבטיחו שהמשוואה הנכונה והמשוואה הבלתי-נכונה יתנו תוצאות זהות. כלומר שהמשוואה הלא נכונה תיתן תוצאות נכונות!
איך עושים את זה?
רחל הייתה צריכה להבטיח שעבור הערכים המסוימים שייבחרו, לכאורה באופן מקרי, יתקיים: ad+bc/bd=a+b/c+d.
אם תחַשְבוּ כראוי תגלו שכל שנדרש הוא שיתקיים ad2=-cb2, כדי ששתי המשוואות יניבו תוצאות זהות. לכן, כל שלושה ערכים מקריים קובעים בהכרח את הערך הרביעי – בהסתייגות אחת: מכיוון שמספרים ריבועיים הם תמיד חיוביים, הרי אם a חיובי, c חייב להיות שלילי, ולהיפך. לכן רחל הערמומית שמרה לעצמה את זכות הבחירה באחד משניהם.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.
