בבלוג הזה נדון בבעיה מעניינת, אלא שלשם כך, כמו לגבי דברים מעניינים רבים, יש לקרוא דבר-מה נוסף, ודבר-מה זה הוא סיפור מתי מתוק פרש חוזר לביתו המופיע במעגל המתמטי.
הסיפור עוסק בבעיה: מהם הצעדים שצריך פרש שחמט לבצע כדי לחזור למשבצת המוצא? אם תנסו תיווכחו שזו אינה בעיה קלה, אלא אם כן אתם חוזרים על צעדיכם בכיוון הפוך, ולא לכך הכוונה.
בסיפור ההוא מוטלות הגבלות רבות המובילות לפתרון אחד ויחיד, אך כאן נבטל את כל המגבלות ונשאל את השאלה הזאת: פרש ניצב במשבצת כלשהי בלוח שחמט אינסופי ויוצא למסע דילוגים שבסופו יחזור למשבצת המוצא:
א) מהם כל הפתרונות האפשריים למסע הדילוגים הזה?
ב) מהם הקשרים בין המסעות השונים?
אחרי שתקראו את הסיפור ואת פתרונו, ותכירו את ארבעת הכיוונים (הווקטורים) שבהם הפרש נע בכל דילוג יחיד, תגיעו למשוואות האלה:
3a=4c+5d
-3b=5c+4d
המשוואות מתארות כל מסע אפשרי המסתיים במשבצת המוצא, כך ש-a,b,c,ו-d הם מספר הצעדים בהתאמה בכיוונים 1, 2, 3 ו-4 המתוארים בסיפור.
מכיוון שאלו שתי משוואות בארבעה נעלמים, אנו יכולים לבחור את cו-dכרצוננו, כשהתנאי היחיד הוא שכל הארבעה יהיו מספרים שלמים. קל לראות שהתנאי היחיד לכך הוא שההפרש c-dיתחלק ב-3.
לדוגמה, אם נבחר c=d=0, גם ערכי aו-b יהיו אפס ונקבל מסע שבו הפרש אינו זז ממקומו. אך אם נבחר לשניהם את הערך 1,000 נקבל את המסע המפרך (3000,-3000,1000,1000).
נתבונן בערכים "צנועים", כאשר ההפרש c-d=3:
(-5,4,0,-3),(-2,1,1.-2),(1,-2,2,-1),(4,-5,3,0) וכו'.
נגלה שיש לנו אינסוף פתרונות!
נעיר רק שפירוש המינוס הוא הכיוון ההפוך (עיינו בסיפור אם זה לא ברור לכם).
עתה, אחרי שענינו על שאלה א', נעבור לשאלה ב' – מהו המבנה המתמטי שמקשר את כל רביעיות הפתרונות? התשובה אולי תפתיע: אם נחבר שני פתרונות, או ניצור הפרש בין שני פתרונות, או נכפול כל פתרון במספר קבוע – נקבל פתרון!
(הפעולות המוזכרות הן פעולות של וקטורים, כלומר: החיבור הוא בין פרמטרים במקומות זהים: הראשון עם הראשון, השני עם השני וכו').
ההסבר הוא פשוט: חיבור של שני פתרונות שקול לזה שנעשה את המסלול הראשון, נחזור למשבצת הפתיחה ונעשה את המסלול השני – שגם בסופו חוזרים למשבצת הפתיחה!
גם חיסור פירושו שאחרי המסלול הראשון, שמסתיים במשבצת הפתיחה, הולכים במסלול השני – כל צעד בכיוון ההפוך אבל גם מסלול הפוך מסתיים במשבצת הפתיחה!
וכפל פתרון במספר קבוע שווה-ערך לביצוע אותו מסלול כמה פעמים!
האם המבנה הזה מזכיר לכם מבנה מוכר?
ודאי! המספרים השלמים! אפשר לחבר, להחסיר או לכפול ועדיין לקבל מספר שלם.למבנה כזה קוראים "חוג", והוא מבנה מתמטי חשוב ביותר. מגרעתו היא שאי אפשר להפעיל בו את פעולת החילוק – לשם כך נזדקק למספרים רציונליים במקום השלמים ואז נקבל מבנה הקרוי "שדה", אך בבלוג הזה לא נרעה בשדות זרים ונסתפק בחוג קוראי הבלוג...
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.
