בבלוגריתמוס 10 הכרנו את חמשת חוקי החבורה הקומוטטיבית. הדוגמה הבולטת היא חבורת השלמים. אם נרחיב אותה לקבוצת השברים ונמשיך להרחיב לקבוצת הממשיים, נקבל סולם עולה של חבורות הכוללות את אלה שמתחתיהן. אך נוכל לנוע גם בכיוון ההפוך: חבורת השלמים כוללת בתוכה, למשל, חבורות חלקיות של המספרים הזוגיים, את של המספרים המתחלקים ב-3.
למעשה, כל קבוצת מספרים הכוללת את כל הכפולות של מספר מסוים כלולה בחבורת השלמים. אפשר למפות את אינסוף החבורות האלה על פי היחסים "כולל" או "כלול", כך שנוצר מבנה הקרוי "סריג". נסו לצייר את חלקו, נניח עבור השלמים והחבורות החלקיות של כפולות השלמים 10-2. סמנו כל חבורה בעיגול ובתוכו המספר המתאים וקשרו את החבורה לזו שמתחתיה בקו מקשר. למשל, הקשר בין החבורה 1 (חבורת השלמים כולה) לחבורה 4 – יעבור דרך חבורה 2, כך שתקבלו סריג של ארבע קומות.
ועתה – נחזור לשאלה שהצבנו בבלוג 11: האם פעולת החיסור היא חיבור בתחפושת?
והתשובה הנחרצת היא: לא!
את ההוכחה נעשה בעזרת בדיקה של חמשת החוקים: מי מהם מתקיימים בפעולת החיסור?
א'. שלם פחות שלם הינו שלם – לכן מתקיימת הקשירות.
ב' וג'. האם קיים "איבר יחידה"? נקבל תוצאה "מוזרה": נבחר לדוגמה במספר 5. 5=5-0, אבל 5-=0-5. כלומר: כשהאפס נמצא מימין הוא אכן איבר יחידה, אך לא כשהוא מופיע משמאל! לכן, מאחר שלא קיים איבר יחידה כללי – אין גם משמעות כללית לאיבר נגדי, אם כי במובן מסוים כל איבר נגדי לעצמו, כלומר 0=5-5.
הסיבה ל"תסבוכת" היא בסעיף הבא:
ד. פעולת החיסור אינה חילופית! a-b אינו שווה ל-b-a . למעשה, אלה איברים נגדיים!.
ה. החוק האסוציאטיבי אינו קיים! a-(b-c)=(a+c)-b, ואילו (a-b)-c=a-(b+c), והמספר השני קטן ב-2c מהראשון.
מסקנה: אף שניתן להחליף חיסור של a על ידי חיבור המספר הנגדי a-, הפעולות חיבור וחיסור שונות מאוד בכלליהן. אם לפנינו ביטוי שמכיל רק סימני חיבור, איננו צריכים סוגריים ואיננו צריכים להקפיד על סדר הפעולות. תארו לעצמכם שק ובו אלף מספרים, שעליכם לחשב את סכומם. אין זה משנה באיזה סדר תוציאו את המספרים – התוצאה תהיה זהה. לא כך לגבי חיסור.
יחסים דומים קיימים בין הכפל והחילוק. החיבור בשלמים מקביל לכפל של השברים החיוביים, והחיסור – לחילוק בהם. אולי תופתעו לשמוע שמובן המתמטי, כפל השברים הוא, "תחפושת" של חיבור השלמים. התחפושת קרויה "איזומורפיזם", שפירושו "שוויון מבנה". הדבר דומה לתרגום מדויק משפה לשפה, אך במקום מאנגלית לעברית אנו מתרגמים מ"חיבורית" ל"כפלית".
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
