בבלוג 14 עסקנו בבעיה: יש n נקודות במישור – כמה ישרים אפשר להעביר דרך לפחות שלוש נקודות מתוכן? ברור שהמספר תלוי באופן שבו הנקודות ערוכות, כך שאנו יכולים ליצור מערך שבו לא נוכל להעביר אפילו ישר יחיד המשותף לשלוש נקודות שונות. אפילו אם מספר הנקודות יהיה אינסופי, עדיין קיימים מערכים שלא יאפשרו ישר יחיד. (נסו לחשוב על מערכים כאלה. דוגמאות יופיעו בסוף הטור).
לכן אנו מחפשים מערכים בהם יהיה מספר הישרים המקסימלי האפשרי!
קשה לנסח כלל מתאים, וכשהמספרים גדולים מסובך ביותר למצוא את המערך המקסימלי. אך קיימת אפשרות למצוא חסם עליון – כלומר מספר שכל מערך יכיל מספר ישרים שאינו גדול ממנו! ככל שנצליח להקטין את החסם העליון, כך נתקרב יותר למספר המקסימלי.
נציג עתה נוסחה לחסם עליון מסוים, שנכונה לגבי מספר הישרים שמכילים לפחות m נקודות במערך של n נקודות. נתאר לעצמנו שבמצב אידיאלי (שכמעט לא קיים במציאות), כל נקודה מקושרת בישר לסדרה מקסימלית אפשרית של קבוצות זרות בנות m-1 נקודות. לדוגמה, n=10, m=5.
קבוצות חייבות להיות זרות, ולא – שני ישרים יכילו שתי נקודות משותפות ויהיו זהים. לכן, נקודה כלשהי, נניח נקודה מס' 1, אפשר לקשר לכל היותר לשתי רביעיות זרות, לדוגמה: קבוצות הנקודות (2, 3, 4, 5), (6, 7, 8, 9) הנקודה 10 לא תיכלל ברביעיה המקושרת ל-1, כי 9 אינו מתחלק ב-4
אפשר לכתוב את מספר הישרים מכל נקודה כערך השלם של המנה: n-1/m-1]]. כיוון שיש לנו n נקודות אבל כל ישר נספר m פעמים, נקבל שהחסם העליון בחישוב הזה הוא הערך השלם של [n-1/m-1]*(n/m).
בדוגמה לעיל, התוצאה היא2*2=4 . אם נבחר, לדוגמה, ב-17 וב-4 – נקבל שהערך השלם של
[16/3]*(17/4) הוא 21, כלומר זהו החסם העליון למספר הישרים במערכת של 17,4.
נסו למצוא חסמים לזוגות שונים של n,m לפי בחירתכם, ובבלוג 16 נחזור לשאלות ולציורים של מערכות ישרים המכילות שלוש נקודות, כפי שעלו בבלוג 14.
ועתה לשאלה מתחילת הבלוג: מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה – כל עקומה ממעלה שניה (אבל לא רק עקומת כאלה) – אינה מכילה 3 נקודות שנמצאות על קו ישר אחד.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
