עתה, בעזרת כל שלמדנו בבלוגים הקודמים – נוכל להשוות בין החסם העליון התיאורטי שמצאנו לבין המערך המקסימלי הממשי של נקודות וישרים שאפשר להשיג בפועל.
ראינו שכשנדרשות רק שתי נקודות, אפשר להשיג את החסם העליון, שהוא n*(n-1)/2, על ידי כך שנדאג שלא תהיינה שלוש נקודות על ישר אחד. דרך פשוטה לבצע זאת היא אם נשרטט מעגל ונבחר n נקודות כלשהן עליו.
עתה נבדוק זאת לגבי m=3, כלומר כשכל ישר חייב לעבור בשלוש נקודות לפחות.
הנוסחה הכללית לחסם עליון, שהיא הערך השלם של [n-1/m-1]*n/m, תהפוך עתה לערך השלם של
[(n-1)/2]*n/3
בדיקה מהירה תראה לנו שעבור 1,2,3,4,5=n אכן מתקיימת זהות בין החסם לבין המערך המקסימלי. אך גם עבור n=6, כשהחסם הוא 4 – עדיין מתקיימת הזהות: (ציור 1).
עבור 7 המצב כבר משתנה: הערך של המשוואה הוא הערך השלם של [6/2]*(7/3)=7. אולם המערך המקסימלי הממשי מכיל רק 6. באופן דומה נקבל עבור 8 שבעה ישרים במקום שמונה שאמורים להיות לפי הנוסחה. עבור 9 נמצא תשעה במקום 12, ועבור 10 יהיו 11 במקום 13. עקבו אחרי הציורים הבאים:
7 נקודות- 6 ישרים בני 3 נקודות:
8 נקודות- 7 ישרים בני 3 נקודות:
9 נקודות- 9 ישרים בני 3 נקודות:
10 נקודות- 11 ישרים בני 3 נקודות:
נסו לשפר את התוצאות בעזרת ציורים משלכם, אם כי חוששני שתתאכזבו.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
