בבלוגים הקודמים עסקנו בנקודות, בישרים המכילים את הנקודות האלה ובחסמים עליונים למספר הישרים האפשריים. זה המקום להדגיש שאין "החסם העליון" בה"א הידיעה. תמיד אפשר לשפר אותו על ידי הקטנתו. רק אם נמצא בפועל את המערך המקסימלי שמכיל את מרב הישרים ונוכיח שלא ייתכן מערך "עשיר יותר", לא נוכל יותר להקטינו – אך אז כבר לא מדובר ב"חסם עליון" אלא בפתרון!
חסם מאפשר לנו לקבל תחום פתרונות מצומצם יותר – אך יש דרך לצמצם אותו, על ידי מציאת חסם תחתון, שמבטיח שהפתרון המקסימלי יהיה שווה או גדול ממנו.
אפשר בקלות ליצור חסמים תחתונים לא חכמים במיוחד. באחד הבלוגים הראינו שעבור 1,000 נקודות, כאשר כל ישר עובר בעשר נקודות, החסם העליון המתקבל מהנוסחה הוא החלק השלם של
n-1/m-1]*n/m, כלומר 11,100.
חסם תחתון טיפשי למדי יתקבל אם ניצור מאה ישרים מקבילים שכל אחד מהם יכיל 10 נקודות. אך מה אם ניצור עשרה ריבועי נקודות של ?10×10
כל ריבוע יכיל 10 עשרה ישרים אופקיים, עשרה מאונכים ושני אלכסונים, 22 בכל ריבוע ובסך הכול 220 ישרים. שיפור – אך אפשר להמשיך ולשפר – למשל אם נסדר את עשרת הריבועים כך שכל נקודה תהיה על ישר אחד עם תשע הנקודות התואמות לה בשאר 9 הריבועים, כך שנקבל עוד מאה ישרים – בסך הכול 320. אפשר להמשיך לשפר, אך זו בעיה פרטית. אנו רוצים לראות את התמונה הרחבה.
ראשית: יש הבדל מהותי בין הנוסחה לחסם העליון לבין התהליך שבו אנו יוצרים חסם תחתון. את נוסחת החסם העליון בנינו בעזרת הנחות שאנו יודעים מניסיוננו שאי אפשר להגשימן במלואן במערכת נקודות ממשית. איננו יכולים לשרטט מערכת כזו של ישרים. חסמים תחתונים, לעומת זאת, אנו יכולים לשרטט בפועל ואף לשפר אותם אם נגלה בהן את האפשרויות הנוספות.
ושנית: יש בידנו שיטה טובה למדי ליצור חסמים תחתונים חדשים בעזרת חסמים תחתונים מסדר נקודות קטן יותר.
נדגים זאת: בבלוג קודם ראינו שעבור מערכת של שבע נקודות, המספר המקסימלי של ישרים המכילים שלוש נקודות לפחות הוא 6. ציירו מערך כזה והעבירו דרך כל הנקודות שבעה קווים מקבילים, כך שלא יעברו דרך נקודה נוספת. על הקווים האלה שרטטו עוד שתי מערכות חופפות לראשונה. נקבל מערכת של 21 נקודות שבה כל אחת משלוש השביעיות מכילה שישה ישרים. בנוסף, יש לנו עוד שבעה ישרים המכילים שלישיות של נקודות תואמות, כלומר ל-21 נקודות מצאנו שקיים חסם תחתון של 25 ישרים שכוללים שלוש נקודות, ואילו החסם העליון לפי הנוסחה הוא 70. אי שם בין המספרים האלה מצוי המערך המקסימלי.
אם שרטטתם את שלוש השביעיות, תוכלו לשפר את התוצאה עוד ולקבל חסם תחתון גדול מ-25. נסו, ואם תרצו כתבו לנו כמה שיפרתם, אך נוכל להכליל את השיטה גם בלי להיכנס לפרטים,באופן הבא: אם למערכת של n נקודות קיים חסם תחתון h(n,m) למספר הישרים המכילים לפחות m נקודות, אזי למערכת של mn נקודות קיים חסם תחתון h(mn,m) שערכו לפחות m*h(n,m)+n. את התוצאה הזו נקבל על ידי שרטוט של m מערכות זהות במקביל.
אפשר לשפר מאוד את הנוסחה הזו – אך נזדקק למשפט מעניין ומרחיק לכת מהגיאומטריה הפרויקטיבית. לכך נקדיש את הבלוג הבא.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה
