בבלוגים הקודמים עסקנו במערכות של נקודות וישרים ובבלוג 17 – בחסם תחתון. לשם הפשטות נתרכז הפעם בישרים שמכילים לפחות שלוש נקודות, אף שאת התוצאות האלה אפשר להכליל הלאה.
הבאנו שם את הדוגמה שאם מצאנו שאפשר להעביר שישה ישרים במערכת של שבע נקודות, אזי נוכל לשרטט קווים מקבילים משבע הנקודות, לצייר עליהן עוד שתי מערכות זהות שנקודותיהן נמצאות על הקווים המקבילים – ונקבל מערכת של 21 נקודות שמכילה שלוש מערכות של שישה ישרים, בתוספת של שבעת הישרים המקבילים שמכילים גם הם שלוש נקודות – בסך הכל 25 ישרים.
השתמשנו בחסם תחתון, שבמקרה זה הוא גם הפתרון הטוב ביותר לשבע נקודות, כדי לחשב חסם תחתון ל21- נקודות. זה בודאי לא הפתרון, ובעיון קל בציור שתציירו תראו שתוכלו לשפר אותו מעט.
עם זאת, אפשר לשפר את התוצאות בעזרת רעיון שלקוח מענף מתמטי הקרוי "גיאומטריה פרויקטיבית". לצרכינו נסתפק בתכונות הבאות שלה, שאותן נביא בתיאור מילולי לא פורמלי:
במישור שלה נכלל גם "ישר האינסוף".
כל הישרים המקבילים ביניהם נפגשים באותה נקודת אינסוף. כל קבוצה בנקודה משלה.
אפשר "להזיז" את ישר האינסוף ולהפוך אותו לישר "נורמלי" כך שמערכת של ישרים ונקודות תעבור למערכת "דומה" – בשינוי הבא: קווים מקבילים ייחתכו מעתה בנקודה על גבי הישר המוזז!
לדוגמה:
נצייר עתה רק שתי מערכות מקבילות של שבע נקודות, כולל סימון של נקודת אינסוף למקבילים. בסך הכל 15 נקודות. אם נעתיק את ישר האינסוף, כולל הנקודה, לישר "רגיל", נקבל תוספת של שבעה ישרים שמכילים שלוש נקודות ויוצאים כולם מ"נקודת האינסוף", שזזה לתוך המישור.
נקבל, עבור 15 הנקודות – 6+6+7=19 ישרים.
נוכל ליישם זאת עבור כל מערכת של nנקודות שמצאנו לה חסם תחתון m: משתי מערכות מקבילות שלn נקודות בתוספת נקודת אינסוף מוזזת – נקבל חסם תחתון של 2m+n עבור 2n+1 נקודות
ניישם זאת מייד לבעיה שעסקנו בה – 21 נקודות. בשיטה הקודמת–קבלנו 25 ישרים.
אך אם נשתמש בשתי מערכות של 10 שמצאנו להן בבלוגים קודמיםחסם תחתון של11 – נקבל:
11+11+10=32ישרים – שיפור ניכר לעומת 25, אך עדיין רחוק מן החסם העליון,שהוא,לפי הנוסחה מהבלוגים הקודמים – 70.
לכן יש לשער שניתן לשפר את התוצאה בשיטות נוספות
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה
