זהו הפרק הרביעי בסדרת אנימציה המלווה את פרופסור ון-שמוהוק בחקר נושאים שונים בתחום הטרום-אלגברה. הפעם נרחיב ביחד עם הפרופסור את המספרים הטבעיים למספרים השלמים האי-שליליים על ידי הוספת המספר אפס, ולמספרים השלמים על ידי הוספת המספרים השלמים השליליים. נראה איך אפשר לייצג את המספרים השלמים על ציר המספרים, ובנוסף ננסה להבין את משמעותם של המספרים השליליים ונכיר מושגים מתמטיים חשובים.
צפייה מהנה!
אחרי הפעלת הסרט תוכלו לבחור כתוביות בעברית בלחיצה על המלבן האדום שבתחתית הנגן ובחירת Hebrew.
כפי שראינו בסרטון, המספרים השליליים התקבלו בתחילה בחשדנות רבה. רבים התייחסו אליהם כיצורים מסתוריים ואפלים. כאן נסקור על קצה המזלג את תולדות המספרים השליליים, נתוודע למתמטיקאים המופיעים בסרטון, ננסה להכיר אותם קצת יותר ונבדוק מה היתה גישתם לנושא המספרים השליליים.
תולדות המספרים השליליים על קצה המזלג
חלוצי השימוש במספרים שליליים היו הסינים. בספר בשם "תשעה פרקים על אמנות המתמטיקה", שכלל אוסף של 246 בעיות שפורסמו בסין במאה השלישית לפני הספירה, הופיעו בעיות שפתרונן היה כרוך בשימוש במספרים שליליים. הסינים השתמשו בצבעים שונים כדי להבדיל בין מספרים חיוביים לשליליים – אדום ייצג את המספרים החיוביים ושחור ייצג את השליליים.
בהודו, המספרים השליליים הופיעו בשנת 620 לספירה בעבודתו של ברהמגופטה, שהתייחס למספרים החיוביים כאל "הון" ולמספרים השליליים כ"חוב". בתקופה הזו ההודים כבר השתמשו בשיטת ערך המקום והמספר אפס היה מוכר להם. ברהמגופטה ניסח כך את חוקי הפעולות במספרים חיוביים ושליליים:
- חוב פחות אפס הוא חוב.
- הון פחות אפס הוא הון.
- אפס פחות אפס הוא אפס.
- אם מפחיתים חוב מאפס מתקבל הון.
- המכפלה של אפס בחוב או בהון היא אפס.
- המכפלה של אפס באפס היא אפס.
- המכפלה או המנה של שני הונים היא הון.
- המכפלה או המנה של שני חובות היא הון.
- המכפלה או המנה של חוב והון היא חוב.
- המכפלה או המנה של הון וחוב היא חוב.
היוונים העתיקים לא התייחסו למספרים שליליים מכיוון שהמתמטיקה שלהם התבססה על רעיונות גיאומטריים. האורכים, השטחים והנפחים שנוצרו בבניות הגיאומטריות היו חיוביים בהכרח. הם ייצגו גדלים באמצעות קווים או שטחים.
במאה השלישית לספירה כתב דיופנטוס את ספרו "אריתמטיקה". כשהגיע למשוואה שתוצאתה שלילית הוא התייחס לתוצאה כ"בלתי הגיונית". במאה התשיעית בבגדד, אל-חווריזמי שאב את רעיונותיו מההודים ומהיוונים גם יחד, ולכן התייחס מצד אחד לתוצאות שליליות כתוצאות חסרות משמעות, ומצד שני התייחס אליהן כאל חובות. במאה העשירית השתמש אבו אל-וואפה השתמש במספרים שליליים כדי לייצג חובות, וכעבור כמאתיים שנה כבר ניסח אל-סאמאוואל חוקי פעולות במספרים שליליים.
באירופה החלו המספרים השליליים להופיע רק במאה ה-15, כשמלומדים התחילו ללמוד ולתרגם את הכתבים העתיקים ממקורות האסלאמיים והביזנטיים. אך המספרים האלה התקבלו בחשדנות רבה. בשל אופיים האפל והמסתורי הגיעו מתמטיקאים רבים למסקנה שהם אינם קיימים. מתמטיקאים אמיצים יותר החליטו שאפשר להשתמש במספרים שליליים כתוצאות ביניים בחישובים, בתנאי שהם ייעלמו כשמגיעים לפתרון.
עד המאה ה-17 התנגדו רוב המתמטיקאים באירופה לרעיון המספרים השליליים 17, כפי שתוכלו לקרוא ביתר פירוט בתמונת המתמטיקאים שבהמשך, אך היו גם מתמטיקאים שהכירו בהם, אם כי באופן חלקי בלבד. פיבונצ'י, לדוגמה, אפשר פתרונות שליליים לבעיות פיננסיות שבהן אפשר היה לפרש אותם כחובות, ומאוחר יותר אף התייחס למספרים שליליים כהפסדים. נדרשו עוד כמה מאות שנים עד שהמספרים השליליים התקבלו באופן מלא לחיק המספרים השלמים.
