היה זה מחזה מרהיב: לאולם נכנסו במצעד ססגוני שלישיות-שלישיות של בני נוער מקסימים מכל המדינות, הגזעים והצבעים שאפשר להעלות על הדעת, נושאים בגאון את דגלי מדינותיהם. עיתונאים מכל העולם צילמו אותם מכל זווית אפשרית ושידרו זאת לכל קצוות תבל. לא בכל יום נאספים מאות בני נוער שלא על מנת להתהולל או להשתכר או להתחרות בשאלה למי הבגדים, הגזרה או הפנים היפים ביותר. נושא התחרות הפעם נגע למצוינות ויצירתיות מדעית: כל נציגות הייתה צריכה להמציא שלושה משחקי חשיבה או חידות בתחום המתמטיקה או ההיגיון, כאלה שייראו קשים ומסובכים, ולפתור אותם בצורה אלגנטית ויפה.
הנאומים נישאו והמשתתפים הנרגשים, כל משלחת בשולחנה, כבר שלפו ניירות ועטים, כאשר שלישייה נוספת הכוללת שני נערים ונערה נכנסה בחופזה לאולם. התברר כי זו הנבחרת של אי נידח ומסתורי בשם שקרמתיה. גם דגלה היה מוזר – הדגל היחיד ששני צידיו לא היו זהים אלא הפוכים. מה שהופיע בצדו הימני למעלה הופיע משמאל למטה, ולהיפך.
הדלתות ננעלו. כל מי שלא היה חבר משלחת יצא החוצה ונשארו רק המתחרים, יחד עם מזנון עשיר ומגוון, שתרם והכין שף הודי נדיב כדי להזין את גופם ומוחם היוצר. לפי התקנות, בשעה 20:00 בדיוק היה פקד כהן אמור לפתוח את הדלתות וכל משלחת הייתה אמורה להגיש את פרי עמלה לחבר השופטים, שכלל כמובן את ידידנו מתי מתוק.
ואכן ב-20:00 בדיוק נעץ פקד כהן את המפתח בדלת,פתח אותה לרווחה, והמחזה שנגלה לעיני עשרות הצלמים הופיע בראש מהדורות החדשות בעולם כולו: מאות נערים מסוממים שכבו או התנודדו כשיכורים, הכרתם מעומעמת, ולא ידעו מימינם ומשמאלם. בדיקה מהירה שערך צוות הזיהוי הפלילי בהוראת פקד כהן גילתה כי למזון ולשתייה הוכנסו סמים.
אין פלא שהניירות ובהם הצעות הצוותים היו מבולבלים לחלוטין והכילו ברובם שטויות כמו "הוכיחו כי 2+2= 6, פחות או יותר", או "הראו כי למשולש בן ארבע צלעות אין חמש זוויות". להפתעת הכל, היחידים שניירותיהם נראו הגיוניים היו חברי המשלחת משקרמתיה, ואף שכנראה בגלל הסם הם לא זכרו את הפתרונות, רעיונותיהם היו מענייניים ביותר. שרת התרבות קראה אותם בהתרגשות באוזני הקהל:
א. ישנו משולש פיתגוראי אחד (משולש ישר זווית שאורך כל צלע בו הוא מספר טבעי) לפחות שאורכי שני ניצביו הם מספרים ראשוניים (ראו בציור שלמטה).
 |
ב. אם תציבו פרש במקום מסוים על לוח השחמט החלקי שבאיור שלמטה, קיימת סדרה רצופה של מהלכים שבהם יעבור הפרש בכל משבצת פעם אח בדיוק. (בנספח למטה מופיע הסבר על תנועת הפרש במשחק השחמט).
 |
ג. כידוע (לשחקני שחמט), אפשר להציב להציב על לוח שחמט 32 פרשים כך שאף פרש לא יאיים על פרש אחר. כמו כן אפשר למצוא סדרה בת 64 מהלכים רצופים של פרש שבהם הוא יעבור בכל אחת ממשבצות הלוח פעם אחת בדיוק (מצאו הסברים בנספח). אך אפשר להמציא כלי עם חוק מהלכים שונה, כך שגם הוא יעבור בכל משבצת שחמט פעם יחידה אך יהיה אפשר להציב 33 כלים בלי שכלי אחד יאיים על רעהו.
השרה הנרגשת הוסיפה, "מאחר שנבחרת שקרמתיה היא היחידה שהגישה רעיונות הגיוניים, ומאחר שאין לדרוש ממנה, אחרי שסוממה, שתזכור את הפתרונות, אני מציעה להכריז על נבחרת שקרמתיה כזוכה. נשאיר למתי את הזכות לפתור את החידות בזמנו החופשי ולפקד כהן את החקירה מי סימם את הנוער".
רעם מחיאות כפיים ביטא את תחושת הנוכחים, אולם מתי כחכח בגרונו וביקש פסק זמן קצר לשיחת טלפון חיונית. השרה המופתעת הסכימה ואכן הייתה זו שיחה מפתיעה. וכך דיווח מתי, "ביררתי במשרד החוץ מהי שקרמתיה, ואכן זו מדינה שאין כמותה: תושביה הם משני סוגים מנוגדים: דוברי אמת – ושקרנים. לצערי שלושת הצעירים השקרמתיים הם שקרנים, כי אין שום אפשרות לקיים אף אחד משלושת הרעיונות שלהם".
"על סמך מה אתה טוען זאת?" תהתה השרה.
"על סמך נימוקים מתמטיים והגיוניים שאסביר אחר כך".
"אם כך, ברור שהשלושה סיממו את כולם", קבע פקד כהן.
הוא כבר עמד לאזוק אותם, אך מתי עצר בעדו ברגע האחרון. "עכשיו, ברשותך, אחקור קצרות את השקרמתים כדי לברר אם אכן הם היו מעורבים בסימום", אמר.
הוא הפנה לשלושתם שאלה זהה: "מי מכם היה מעורב בסימום?"
נער א' ענה, "בדיוק שניים מאיתנו".
הנערה ענתה, "בדיוק אחד מאיתנו, וזאת לא אני".
"זאת כן את!" התפרץ נער ב'.
הנערה נשברה, "שלושתנו!"
הפקד שקשק באזיקיו. "המצב ברור!" אמר, ואזק את כולם.
"הוא ברור בהחלט!" הסכים מתי. "שחרר אותם, הם אינם אשמים!"
ואכן בירור קצר העלה כי השף ההודי הנדיב לא היה אלא ד"ר לא!
לבקשת הקהל הרב החל מתי להסביר כיצד הגיע לכל מסקנותיו. ההסברים לא היו פשוטים, ואם אתם רוצים לגלות אותם בעצמכם נשמח מאוד.
אם תתקשו (תמיד כדאי לנסות), תוכלו להשתמש ברמזים הבאים:
בעיה א'
 |
נניח שאורכי הצלעות p ו-q במשולש הפיתגוראי שבאיור הם מספרים ראשוניים ושאורך הצלע c הוא מספר שלם. קיים
(q2=c2-p2=(c+p)*(c-p
אם כך, למה שווה c-p? ובאותו אופן – למה שווה c-q?
לאור התוצאות, האם אפשר ליצור משולש פיתגוראי שבו אורך כל נציב הוא מספר ראשוני ואורך היתר הוא מספר שלם? (רמז נוסף: 
אינו מספר רציונלי).
בעיה ב'
צבעו את משבצות הטבלה, שהיא כידוע חלק מלוח שחמט, בצבעי שחור ולבן. ספרו את מספר המשבצות השחורות והלבנות. בהתחשב במהלכי פרש, מהי מסקנתכם?
 |
בעיה ג'
לכאורה הבעיה הזו סבוכה, שכן אין הגבלה על מהלכי הכלי. מכל משבצת אנו יכולים לאפשר לו ללכת לאן שנחפוץ.
אף על פי כן, לא נצליח להציב יותר מ-32 כלים. הסיבה היא שיש לכלי, לפי הדרישה, מסלול של 64 מהלכים המכסה את הלוח כולו. חישבו מדוע, כשאתם מביאים בחשבון מסלול כזה.
הפתרונות
א. עם p ו-q שהם מספרים ראשוניים ו-c מספר שלם, הפתרון היחיד למשוואה
q2=c2-p2=(c+p)(c-p)
הוא (c+p)=q2 ו-(c-p)=1
ובאותו אופן גם (c+q)=p2 ו-(c-q)=1.
לכן p=q והנוסחה תהיה 2p2=c2. ומכאן 
.
אינו רציונלי ולכן 
אינו מספר שלם.
ב.
אם צבעתם את 35 המשבצות קיבלתם שהן מתחלקות בין שני הצבעים בפער של 20:15. אך מאחר שבמסעות פרש הצבע מתחלף בכל מהלך, הצבע הפותח יכול להיות ביתרון של 1 כל היותר על הצבע השני. לכן אין שום אפשרות לכסות במהלכי פרש את כל הלוח החלקי שבאיור.
ג. אפשר להסתכל על לוח משחק כלשהו, לדוגמה שחמט, באופן הבא: כל משבצת תיוצג על ידי נקודה, ואם נבחר בכלי מסוים הנע לפי חוק קבוע, לדוגמה פרש, נסמן קטע מקשר בין כל שתי נקודות שאפשר לעבור ביניהן ישירות להגיע במהלך חוקי יחיד. למערכת הנקודות והקטעים המתקבלת קוראים גרף.
הגרף של פרש בשחמט מורכב ומסובך: יש משבצות – משבצות הפינה – המקושרות רק לשתי משבצות (ראו בנספח), ואילו כל אחת מ-16 המשבצות המרכזיות מקושרת לשמונה משבצות שונות.
לגבי כל גרף ניתן לשאול: האם קיים מסלול רציף העובר על כל הנקודות פעם יחידה? מסלול כזה קרוי מסלול המילטון. בלוח השחמט אכן קיים מסלול המילטון לפרש, וניתן כאמור להציב 32 פרשים על משבצות שוות צבע בלי שפרש אחד יאיים על השני. אך אולי ניתן להמציא כלי חדש בעל כלל תנועה חדש, כך שיתאפשר להציב בלוח 33 כלים כאלה בלי שאחד יאיים על השני?
אם תנסו, תיכשלו, אך זו אינה הוכחה. ההוכחה עצמה מפתיעה: נבחר מסלול המילטון לפרש ונמספר את נקודותיו (משבצותיו) מ-1 ועד 64 . אם נציב בו פרשים שלא יוכלו "להכות" את אחיהם יהיה חייב להיות רווח של משבצת ריקה אחת לפחות בין כל זוג.
אם נציב פרש על הנקודה הראשונה של מסלול המילטון לא נוכל להציב פרש על הנקודה השנייה, מפני שקיים קשר (תנועה מותרת לפי כללי המשחק) בין הנקודה הראשונה לנקודה השנייה. באופן כללי ניתן להגיד שפרש הנמצא בנקודה מסוימת של מסלול המילטון מאיים על פרש הנמצא בנקודה הבאה במסלול. לכן אפשר להציב לכל היותר 32 פרשים על לוח השחמט כולו. התוצאה אינה נובעת מהמהלך המיוחד של הפרש אלא מהתכונה הכללית של מסלול המילטון. לכן, אין אפשרות למצוא כלי פלאי כזה!
ד. מכל האמור לעיל הסיק מתי ששלושת נציגי שקרמתיה הם שקרנים. אך האם כולם או חלקם היו מעורבים בסימום של יריביהם?
בגלל מה שאמר נער א' לא ייתכן שהיו שני מרעילים. בגלל משפטה האחרון של הנערה לא ייתכן שעל השלושה היו שותפים בהרעלה. לכן נותרה האפשרות של מעורב יחיד שאינו הנערה, כי זה מה שטוען נער ב' כלפיה.
אך משפטה הראשון של הנערה מורכב משני משפטים המחוברים בו' החיבור, וכדי שיהיה שקרי חייב לפחות אחד משני מרכיביו להיות שקרי. מאחר שהשני אמיתי (הנערה אינה מעורבת), הטענה הראשונה (קיים מעורב יחיד) חייבת להיות שקרית. לכן אף אחד מהשקרנים לא היה שותף לסימום של המתחרים. אין פלא שהחשד נפל באופן טבעי על ידידנו התעלולן, ד"ר לא!
אמנון זקוב
לפי כללי משחק השחמט תנועת הפרש מורכבת משני צעדים: הצעד הראשון הוא ישר לאחת המשבצות בעלות צלע משותפת עם המשבצת הנוכחית (ימינה, שמאלה, למעלה או למטה). הצעד השני ממשיך את הצעד הראשון באלכסון. התבוננו גם באיור: המשבצות שאליהן יכול הפרש להגיע מסומנות ב-X.
רואים באיור שפרש הנח על משבצת לבנה יגיע למשבצות שחורות בלבד. (וכמובן גם ההפך הוא נכון). לכן אפשר להניח פרשים על כל המשבצות מצבע אחד (32 משבצות בסך הכל) בלי שיאיימו זה על זה. מכאן גם נובע שפרש שעובר פעם אחת בדיוק על כל אחת מהמשבצת שעל לוח השחמט יעבור לסירוגין על משבצות שחורות ולבנות.
להלן מסלול המילטון (מסלול העובר על כל אחת מהמשבצת בדיוק פעם אחת) של הפרש:
התרשים לקוח מוויקיפדיה; נוצר בידי OmniGraffle
