האוריינט אקספרס היתה אחת הרכבות המפורסמות בהיסטוריה. אגתה כריסטי, סופרת הבלשים הנודעת, כתבה עליה את אחד מספרי הבלשים המפורסמים ביותר, "רצח באוריינט אקספרס". הרכבת נסעה בין לונדון לאיסטנבול, מרחק של 3,000 ק"מ, בתקופה שבין שתי מלחמות העולם. עשירי העולם שישבו בקרונותיה נהנו מכל פינוק אפשרי.
נתאר עתה בדמיוננו את המצב הבא: שתי רכבות "אוריינט אקספרס" יוצאות בו-זמנית, האחת מלונדון ומהירותה 125 קמ"ש והשנייה מאיסטנבול במהירות של 100 קמ"ש. בדרך יש להן שש תחנות עצירה שמשך העיכוב בהן, בסדר בלתי ידוע, הוא 10, 15, 20, 20, 25 ו-30 דקות. ברגע היציאה ממריאה יונת דואר שמהירות 180 קמ"ש מאחת משתי תחנות המוצא ומתעופפת אל הרכבת השניה, ובהגיעה היא חוזרת מיד לרכבת הראשונה וכך הלאה – עד שהרכבות נפגשות אי שם בדרך.
והשאלה היא: מה אורך הדרך שעברה היונה?
הבעיה נשמעת מוזרה. איננו יודעים היכן ממוקמות התחנות. יש אינסוף אפשרויות למקם אותן. אפילו לגבי סדר התחנות יש אפשרויות רבות (כמה?). האם יש לכם הצעה איך ליצור סדרת בעיות פשוטות יותר בדרך לפתרון הבעיה הסבוכה ? חשבו – והשוו.
התשובה היא שיש 720 (!6) דרכים שונות להציב שש תחנות שונות (למשל בעלות שמות שונים). אם נתחשב רק בזמני החניה, נראה ששתיים מהן (20 דקות) זהות, ולכן נותרות 
אפשרויות. ועתה נעבור לבעיות ה"פשוטות".
בעיה 1
שתי הרכבות נוסעות במהירות 100 קמ"ש והיונה עפה במהירות 200 קמ"ש; אין תחנות בדרך; היונה יוצאת מלונדון.
הפתרון
נחשב את הדרך שעברה היונה עד למפגש הראשון. כיוון שהיא עפה במהירות כפולה מהרכבות, היא תעבור שני-שליש מהמרחק ביניהן בכל קטע, בזמן שהרכבת שמולה תעבור רק שליש וכך גם הרכבת השניה.
לאחר כל מפגש נותר שליש מקטע הדרך הקודם, התהליך יחזור על עצמו באופן אינסופי עד שחיפגשו, לכן הדרך S שהיא סך מעוף היונה מקיימת:
הביטוי בסוגריים הפנימיים הוא טור גיאומטרי שכפולתו היא q=1/3 ואיברו הראשון הוא a1=1. לפי הנוסחה לטור אינסופי סכומו הוא:
בעיה 2
מה אורך הדרך שתעבור היונה כשאין תחנות אולם המהירויות הן 100 ו-125 קמ"ש? הפעם החישוב מסובך יותר. נסו.
הפתרון
אם היונה עפה לכיוון הרכבת מאיסטנבול בזמן t, היא עוברת 180t ומולה הרכבת תעבור 100t, כשבינתיים תעבור הרכבת מלונדון 125t, והקטע יצטמצם מ-280t ל-55t, כלומר ביחס של 55/280.
בכיוון ההפוך הוא מצטמצם מ-305t ל-80t, כי בשני המקרים סכום קטעי הרכבות הוא 225t וצמצום הקטע הוא 80/305, ולכן סדרת הקטעים שהיונה עפה היא:
וזהו סכום של שני טורים הנדסיים אינסופיים:
הראשון מכיל את האיברים האי-זוגיים, ובו 
והשני: 
אחרי חישובים, צמצומים ועבודה שחורה רבה נקבל לבסוף:
לכאורה פתרנו את הבעיה, אולם מתעוררת בעיה הרבה יותר מעניינת: אם נסתכל על הבעיה בצורה חדשה - נקבל פתרון מיידי: בכל שעה עוברות שתי הרכבות 125+100=225 ק"מ ובאותו זמן עוברת היונה 180 ק"מ, לכן היחס בין הדרכים הוא:
והשאלה העולה היא: איך יתכן שישנם שני פתרונות, האחד מסובך ומלא עבודה שחורה השני פשוט, מהיר ואלגנטי? האם קיימת מתמטיקה "חכמה" ומתמטיקה אחרת "לא חכמה"?
חשבו על כך.
התשובה היא שהסיבה להבדל אינה חכמה או טיפשות. בפתרון הראשון כלולים אינסוף פתרונות! אם נרצה לדעת מה היה המצב אחרי R מפגשים של היונה, נוכל לחשב את הפתרון ישירות מהטורים.
למשל: אחרי שני מפגשים עברה היונה בבעיה הראשונה 
ובבעיה השנייה 
אבל אנו לא התבקשנו לענות על אינסוף השאלות האלה, אלא רק על השאלה היחידה: מהו המרחק הסופי! לכן עדיף במקרה כזה להשתמש בגישה חסכונית יותר שאינה מחשבת פרטים לא הכרחיים אלא מסתכלת על המערכת כולה ומחשבת את החישובים המינימליים הדרושים לפתרון.
בפעמים הבאות נביא במדור זה דוגמאות נוספות לגישה הזו, אבל עתה נציג בפניכם פרדוקס: נניח שהיונה נוחתת על כל רכבת לשנייה אחת, כדי לנוח או כדי להעביר מסר. אנו יודעים שהיא עוברת במעופה אינסוף קטעים, לכן הדרך תימשך אינסוף שניות: הייתכן? חישבו.
התשובה: כשהרכבות מתקרבות מגיע הרגע שבו היונה נוחתת על אחת מהן בזמן שהרכבות נמצאות במרחק של שניית נסיעה אחת או למטה מכך. המרחק שעוברות הרכבות בשנייה הוא 
מטרים, ולכן היונה תסיים את מסעה אחרי מספר סופי של קטעים, כשהיא יושבת למשך שנייה אחת או פחות על אחת הרכבות, במקום להתרוצץ אינסוף פעמים בשנייה האחרונה הזו.
בעיה 3
האם בהוסיפנו את בעיית שניות המנוחה משהו משתנה בחישובינו?
פתרון
ברכבות לא משתנה דבר והזמן עד שייפגשו נשאר כשהיה: 13 שעות ושליש, שהן 3,000/225. אולם בשניות שבהן היונה שוהה על הרכבות מהירותה יורדת בהתאמה מ-180 קמ"ש ל-100 או 125 קמ"ש בלבד, ולכן היא תעבור מרחק קטן יותר בזמן הזה!
עתה נחזור לבעיית המעוף עם התחנות. אכן ישנם אינסוף פתרונות התלויים במיקום התחנות, ולא נוכל למצוא פתרון אחד. אך נוכל לתת פתרון יחיד לשאלה מהו המקסימום ומהו המינימום של מרחק תעופתה. חשבו על כך.
פתרון: כדי שהרכבות תיפגשנה הן חייבות לעבור בכל התחנות, בחלוקה כלשהי ביניהן. אם ייפגשו בדרך בין תחנות, סימן שבכל תחנה עצרה רכבת אחת מהשתיים. אם ייפגשו בתחנה, אפשר שהחניה היתה רק בחלק מזמן החנייה או באפס זמן אם שתיהן נכנסות לתחנה באותו רגע. מאחר שמהירות היונה קבועה, הרי ככל שהזמן עד פגישת הרכבות יתארך, כך תארך גם דרכה. וזהו המקרה שבו הרכבת המהירה חונה את מלוא הזמן, כלומר שעתיים, בכל התחנות, ורק אז פוגשת ברכבת השנייה. אם הזמן הוא t, הרי שהיא נסעה בפועל רק t-2 שעות, ונקבל:
שעות 
ולכן 
, וזה המקסימום!
הזמן הקצר ביותר יהיה כאשר הרכבת האיטית חונה בחמש תחנות ואילו לתחנה של 30 דקות העצירה ייכנסו שתי הרכבות באותו רגע, לכן האיטית מפסידה רק 1.5 שעות נסיעה. נקבל:
ולכן היונה תעבור 14*180=2,520 קילומטר.
ברווח הזה: 2,600>S>2,520 ייתכן כל פתרון!
וכך באה בעיית היונה על פתרונה.
שאלת אתגר למתעניינים
מהירות שתי הרכבות היא 100 קמ"ש ומהירות היונה היא 200 קמ"ש. היונה שוהה על כל רכבת שנייה אחת. מה המרחק שתעבור היונה? (דייקו ככל שתוכלו...). המרחק כולל גם את נסיעותיה על הרכבות.
אמנון זקוב
