מתי מתוק ופקד אלברט כהן יצאו יחד מהדרבי העירוני.
הפקד היה מבולבל ומדוכדך. "אינני מבין איך זה קרה", אמר. "מכבי היא קבוצה טובה יותר מהפועל. היא שיחקה טוב יותר ואף על פי כן הפסידה! זה לא הגיוני!"
מתי חייך. "שוב הימרת בטוטו?"
הפקד הסמיק. "זה לא נראה הימור – זה נראה עניין בטוח!"
"אין ביטחון בכדורגל", ענה מתי. "כדורגל אינו מציית לחוקים פשוטים כמו 'מי שחזק יותר – מנצח בטוח'. "בכדורגל ישנו יסוד הסתברותי, שהעם מכנה 'הכדור הוא עגול', וקבוצה חלשה יכולה להגיע במקרה למצב של הבקעת שער, כפי שקרה היום. לכן, במשחק יחיד יכולות להתרחש הפתעות גדולות, אך ככל שמספר המשחקים רב יותר - ההסתברות שלקבוצה חזקה יותר יהיו בסופו של דבר יותר נקודות גוברת והולכת. לכן בליגה הניבוי הכללי של דירוג הקבוצות מתאים בדרך כלל לטיב הקבוצה, ואילו בגביע, שבו בכל משחק מוציאים את הקבוצה המפסידה מהתמודדות קורות לרוב הפתעות גדולות ולא פעם זוכות בו קבוצות תחתית או אפילו קבוצות מהליגה השנייה והשלישית".
הפקד, אוהד נלהב של כדורגל והימורים, עמד להמשיך בהתלהבות בדיון המרתק – אבל תופעה מרתקת פי כמה התגלתה לעיני השניים: רבבות בני אדם, כמות שנראית רק בהפגנות מחאה, גדשו את כיכר העיר, בצעקות, דחיפות ואמרות שפר, כנהוג בארצנו.
"מה קרה?" שאל הפקד.
"הימור בטוח", ענה דוחף משולהב.
"אין הימור בטוח" העיר מתי. "יש רק הימורים יותר סבירים ופחות סבירים".
"לא במקרה הזה", פסק בן שיחם והצביע לכיוון משרד בפאתי הכיכר שאליו נדחקו כל רבבות האנשים.
שם המשרד התנוסס בגאון: "הימור בטוח", ומתחתיו כותרת המשנה "זו לא אגדה".
"איזה מין הימור זה?" שאל הפקד הנרגש, והחל כבר לפשפש בארנקו.
"הימור פשוט ביותר", השיב האיש. "בקרוב נפתח הסיבוב הראשון בליגת העל שלנו. חמש קבוצות ידועות נבחרו להימור על חלוקת הנקודות ביניהן, כאילו שיחקו בליגה של חמש קבוצות. אפשר להמר על כל טבלת נקודות בנפרד. כל הימור - שקל אחד. כל זכייה – מיליון שקלים!"
"זה מוזר", העיר מתי תוך שהוא מהרהר.
"מוזר שמוזר", השיב הפקד הנלהב. "בוא נהמר – מה זה שקל פה, שקל שם, לעומת מיליונים? מה מוזר פה?"
"זה נשמע יותר מדי טוב".
הפקד התלהב: "אם כך – אני אהמר ואתה תבדוק". והוא משך את מתי ביד אחת, הניך בידו השנייה את תעודת הפקד תוך שהוא מכריז, "משטרה, משטרה", וכך הצליח לפלס את דרכו בקהל הרבבות ולהידחק אל משרד ההימורים.
על הקירות היו תלויות הצעות ההימורים הבאות:
 |
בעל המשרד, איש קטן ומאושר, שיחק עם כדורגל מוזהב שעליו הכתובת, "אם לא עכשיו – אימתי: המר!"
"הזכר לי", ביקש מתי מהפקד. "איך מחושבות הנקודות?"
"פשוט מאוד: כאשר משחקות קבוצות א', ו-ב' וקבוצה א' זוכה, נרשמות שלוש נקודות לזכותה ואפס ליריבתה. אם הן מסיימות בתיקו, נרשמת לזכות כל קבוצה נקודה אחת".
"כלומר", אמר מתי, "כאשר יש ניצחון מתווספות שלוש נקודות לניקוד הכולל של חמש הקבוצות המתחרות, וכהתוצאה היא תיקו נוספות שתי נקודות?"
"בהחלט", אישר הפקד.
"והתוצאות האלה מיוחסות לסיבוב הראשון שבו כל קבוצה פוגשת כל יריבה פעם אחת בדיוק?"
"בהחלט", השיב הפקד בקוצר רוח. "מה כל השאלות האלה? לפנינו טבלאות שבהחלט מתקבלות על הדעת. ייתכן בהחלט שהסדר בדירוג הקבוצות ישתנה, אבל מה הסיכון? שקל מול מיליון. קדימה, בוא נסתכן ונהמר. אמרת שההימור נראה טוב מדי. מה רע בו?"
"ההימור נראה לא רק טוב אלא כמעט בלתי מתקבל על הדעת, ואסביר לך מדוע. לו היו רק שתי קבוצות, מתקיים רק משחק אחד ויש רק שלוש אפשרויות לתוצאות: ניצחון, הפסד ותיקו.
כאשר יש שלוש קבוצות, מתקיימים שלושה משחקים, ומאחר שבכל משחק יש שלוש אפשרויות, הרי לפי חוק ההסתברות יש 27=3*3*3=33אפשרויות.
כאשר יש חמש קבוצות, ישנם עשרה משחקים, ו-310=59,049 אפשרויות. אולם רבות מהן תסתכמנה באותה חלוקת נקודות, לכן מספר האפשרויות לחלוקת נקודות קטן בהרבה מ-50,000, ומספר הסבירות שביניהן, כלומר אלו שתוצאותיהן מתקיימות בוודאי, אינו עולה על כמה מאות או אלפים בודדים. והנה, כל ההימורים המוצעים כאן נראים לך סבירים ובעל המשרד מציע לך יחס זכייה של אחד למיליון במקום יחס של אחד לכמה מאות או אלפים."
"אדרבה", התלהב הפקד. "במקרה כזה יש לך רק ספק?"
"בהחלט לא", ענה מתי והורה על בעל המשרד. "עצור את ד"ר לא!"
בעל המשרד נראה לרגע נדהם ונעלב, ולכן אפשר להבין מדוע בעט בכדור הזהב לעברם. הפקד, שוער בקבוצת חובבים, עמד לתפוס את הכדור בזינוק ספורטיבי, אבל הכדור התפוצץ באוויר והחלל התמלא עשן מחניק. משהתפזר העשן, ד"ר לא נעלם כלא היה, ולפקד לא נותר אלא להודיע ברמקול לאנשים שמדובר בתרמית ושהכסף יוחזרו לבעליהם המאוכזבים.
"איך ידעת?" תמה הפקד. וכהרגלנו, במקום להקשיב לתשובת מתי מתוק נצפה לתשובתכם, בעזרת השאלות הבאות:
שאלות
1. הסבירו מדוע כאשר יש חמש קבוצות, הן תשחקנה ביניהן עשרה משחקים.
2. א. לפי הסבר זה, לו היו עשר קבוצות, כמה משחקים היו נערכים?
ב. התוכלו לנסח נוסחה למספר המשחקים בסיבוב אחד כשמשתתפותn קבוצות?
3. בהתאם לחוקי חלוקת הנקודות, כאשר יש חמש קבוצות - מהו סכום הנקודות הכללי המרבי שיכול להתקבל? מהו מינימום הנקודות האפשרי?
4. א. נניח שבאחת מטבלאות ההימורים קיבלנו שסך כל הנקודות הוא 24, כמה משחקי תיקו היו במסגרת עשרת המשחקים?
ב. אם במסגרת סיבוב ליגה מלא של מספר כלשהו של קבוצות - מרב הנקודות הכלליות הוא A, והמינימום הוא B, למה שווה A/B?
5. אם יש n קבוצות, מהו מספר הנקודות המקסימלי שבו יכולה לזכות מוליכת הליגה? (תנו דוגמה כאשר n=3, 5, 7, 10).
6. האם יכול להיות שמספר הנקודות הכללי מתיקו יהיה אי-זוגי? נמקו.
7. לפי התשובות בשאלות הקודמות. מדוע לא ייתכנו התוצאות של לוחות ההימורים. נמקו לגבי כל לוח.
8. השאלה הבאה מתייחסת ללוח הימורים של שלוש קבוצות. אפשר לכתוב לוח תוצאות על ידי ריבוע 3*3באופן הבא:
 |
באופן כללי רושמים בשורה של הקבוצה את תוצאת המשחק
נגד הקבוצה הרשומה בעמודה. למשל, אם א' ניצח את ב', ו-ב' יצאה בתיקו עם ג', נרשום בשורה א' בעמודה ב' את מספר הנקודות שבו זכתה א' במשחקה עם ב'.
בלוח שבדוגמה נוכל לראות שקבוצות א' ו-ג' נפרדו בתיקו.
ועתה לפניכם לוח ההימורים הבא:
כמה מחמשת הלוחות בלתי אפשריים. ייתכנו נימוקים לכך שלא הופיעו קודם. לגבי כל אי אפשרות, נמקו מדוע היא בלתי אפשרות. לכל לוח אפשרי, רשמו לוח תוצאות של 3*3 המתאים לו.
 |
9. האם תוצאת סיבוב של ארבע הקבוצות הבאות אפשרית?
אם כן, כתבו את הלוח המתאים. אם לא, נמקו.
10. נניח שיש לנוn קבוצות ושתוצאות הסיבוב הן: 0, 3 , 6 , 9... 3(n-1). האם תוכלו לנסח כלל שאומר מי ניצח את מי ואיזה קבוצות סיימו בתיקו?
11. אם כל הקבוצות קיבלו מספר שווה של נקודות. האם המסקנה ההכרחית היא שכל המשחקים הסתיימו בתיקו? נמקו לכאן או לכאן או הדגימו.
פתרונות
1. כל קבוצה משחקת ארבעה משחקים נגד השאר. כיוון שיש חמש קבוצות, הרי לכאורה אמורים להיות 5*4=20 משחקים. אולם למעשה ספרנו כל משחק פעמיים: פעם כמשחק של א' נגד ב', ופעם כמשחק של ב' נגד א', ולכן עלינו לחלק את התוצאה בשתיים, כלומר 20/2=10 משחקים.
2. א. 
2. ב. 
3. מרב הנקודות למשחק יחיד הוא 3. לכן, בעשרה משחקים סכום הנקודות הכללי המרבי יהיה 30. המינימום הוא 2 נקודות למשחק, ולכן המינימום הכללי הוא 20.
4. א. אנו רואים שכל תוצאת תיקו מורידה נקודה אחת מהסכום מהרבי הכללי. לכן, מאחר ש-6=30-24, חייבים להיות בדיוק שישה משחקי תיקו.
4.ב. אם ישנו מספר כלשהו של משחקים, הרי מרב הנקודות הוא A=3a ומיעוט הנקודות הוא B=2a
5. ההצלחה המרבית של מובילת הטבלה הוא ניצחון על כל יריבותיה. יש לה n-1 יריבות ובכל משחק היא תזכה בשלוש נקודות, לכן 3(n-1)=3n-3 ונקבל:
|
א |
3 |
5 |
10 |
|
|
6 |
12 |
27 |
6. לא יכול להיות, כי כל תיקו תורם שתי נקודות למאזן הכללי והתרומה הכללית ממשחקי תיקו היא 2 כפול מספר המשחקים – והתוצאה תמיד זוגית.
7. לוח 1: סכום הנקודות הוא 19, בעוד המינימום הוא 20.
לוח 2: סכום הנקודות הוא 31, בעוד המקסימום הוא 30.
לוח 3: סכום הנקודות הוא 29, ומכאן שהיה רק משחק תיקו אחד. אבל אז לא ייתכן שבני העיר זכו בשתי נקודות, משום שהדרך היחידה לזכות בהן היא בשני משחקי תיקו!
שימו לב! קבוצה שרק מנצחת או מפסידה, סכום נקודותיה תמיד מתחלק בשלוש, כיוון שהסכום מורכב משלשות ואפסים. לעומת זאת, אם סכום נקודות הקבוצה אינו מתחלק בשלוש ויש שארית של 1 או 2, הרי לפחות 1 או 2 ממשחקיה הסתיימו בתיקו. מדוע לפחות ולא בדיוק? נניח שקבוצה אגרה ארבע נקודות מול ארבע יריבות – ייתכן שעשתה זאת עם ניצחון אחד, תיקו אחד ושני הפסדים, או בארבעה משחקי תיקו. כלומר אם יש שארית של 1, ייתכן היו עוד שלושה משחקים (או כמה שלשות) שהסתיימו בתיקו.
לוח 4: לא ייתכן שלמוליכה יהיו 13 נקודות, כי המרב שאפשר לקבל נגד ארבע היריבות הוא 12.
לוח 5: יש לנו בסך הכול 27 נקודות. מכאן שהיו בדיוק שלושה משחקי תיקו, כלומר שש נקודות בדיוק התקבלו במשחקי תיקו. אך אם נעבור על התוצאות של כל קבוצה נגלה שמועדון ספורט זכה בשתי נקודות לפחות במשחקי תיקו וכך גם מכבי, הפועל וביתר, ואילו בני העיר קיבלו נקודה אחת לפחות במשחק תיקו. מכאן שלפחות תשע נקודות הושגו בתיקו (ומאחר שהמספר חייב להיות זוגי – לפחות עשר), סתירה! ומכאן, גם לוח 5 אינו אפשרי!
8. לוח 1: בלתי אפשרי. כי אם ג' זכה ב-0, סימן ש-א' וב' ניצחו אותו ולכן זכו כל אחד ב-3 נקודות. אולם נותר עוד משחק אחד ביניהם ולא ייתכן שהוא לא תרם נקודות!
לוח 2: אפשרי: כל המשחקים הסתיימו בתיקו ואין כל אפשרות אחרת.
|
|
א |
ב |
ג |
| א |
|
1 |
1 |
|
ב |
1 |
|
1 |
|
ג |
1 |
1 |
|
לוח 3: בלתי אפשרי. בסך הכול יש שש נקודות משלושה משחקים במקום סכום מרבי של תשע נקודות, מכאן ששלושת המשחקים חייבים להסתיים בתיקו, בניגוד לתוצאות הרשומות.
לוח 4: אפשרי.
|
|
א |
ב |
ג |
| א |
|
3 |
3 |
|
ב |
0 |
|
1 |
|
ג |
0 |
1 |
|
לוח 5: אפשרי. בסך הכול יש שבע נקודות, כלומר שני משחקי תיקו, והפתרון הוא:
|
|
א |
ב |
ג |
| א |
|
1 |
3 |
|
ב |
1 |
|
1 |
|
ג |
0 |
1 |
|
9. התוצאה אפשרית:
|
|
א |
ב |
ג |
ד |
| א |
|
3 |
3 |
3 |
|
ב |
0 |
|
3 |
3 |
|
ג |
0 |
0 |
|
3 |
|
ד |
0 |
0 |
0 |
|
10. כל אחד זוכה נגד כל אלה שמתחתיו ומפסיד לכל אלה שמעליו. אין תיקו, מהסיבה הבאה: הראשון חייב לזכות בכל המשחקים, כיוון שמספר נקודותיו הוא 3(n-1). מכאן השני, שכבר הפסיד לראשון, חייב לנצח את כל השאר כדי שמספר נקודותיו יהיה 3(n-2), וכן הלאה.
11. לא. ולהלן הדוגמה: תהיה הליגה מורכבת מארבע קבוצות – א', ב', ג' וד'. ישנם שישה משחקים
.
ניצור "סימטריה" בין הזוגות א',ב' וג',ד'. התוצאה ביניהן – תיקו. א' מנצח את ג' ומפסיד לד'; ב' מנצח את ד' ומפסיד לג'. והתוצאה: לכל אחד מהמשחקים יש ארבע נקודות ותוצאות של ניצחונות ותיקו:
דוגמה פשוטה לשוויון ללא תיקו: שלוש קבוצות. א' מנצח את ב'; ב' מנצח את ג'; ג' מנצח את א'. לכל קבוצה יש שלוש נקודות בלי אף משחק תיקו ביניהן.
נסו ליצור שוויון בין חמש קבוצות בעזרת ניצחונות בלבד.
למתעניינים – אתגר: נסו לנסח כללים לשוויון בין כל מספר קבוצות כך שלא כל המשחקים יסתיימו בתיקו!
אמנון זקוב
