היש בסיס לשחצן?

הוותיקים כבר מכירים את גיבורינו. לחדשים נספר כי זה עשרים שנה עוסקים המתמטיקאי מתי מתוק ופקד אלברט כהן במאבק נגד הפושע המתמטי ד"ר לא. אין גבול לפשעיו, אך לזכותו ייאמר שהוא משאיר רמזים המאפשרים את פתרון התעלומה. אם יש בכם יצר בלשות מתמטית, זו ההזדמנות שלכם להצטרף לאלפי בני הנוער שהשתתפו משך השנים במרדף האינסופי אחרי ד"ר לא. בזכותם מדינתנו עדיין עומדת על תִלה!

מעולם לא נראה ב"גן המדע" שבמכון ויצמן המון עצום ומגוון שכזה: מדענים, מהנדסים, אמנים, פוליטיקאים, ומעל לכל מאות בני נוער. ליד הבור המכוסה בבד זרחו פניו של משה, מנהל הגן, לכל כיוון אפשרי, ובצדק!

"רבותיי!" פתח ואמר, "ראיתי גני מדע בכל חמש היבשות ואני מבטיח לכם – מה שאתם עומדים לראות לא רק אני לא ראיתי כדוגמתו, אלא אף לא אדם אחד בתבל כולה! יצירה מופלאה, פרי שיתוף פעולה של מדענים, טכנאים, אמנים והוגי דעות, תופיע לפניכם מיד!"

ואכן, בהינף מפתיע של מנוף ענק הורמה לגובה רב יצירה מדהימה: במרכזה נראה עותק של הפסל המפורסם "ההוגה", וסביבו עשרות מתקנים, שרשראות, מוביילים ועוד כהנה וכהנה, בערבוביה מדהימה מעל לראשי הקהל הנדהם.

ומשה המשיך: "'ההוגה' שלפניכם הוא אחד הרובוטים המתוחכמים בתבל. הוא שולט במדעים, בטכנולוגיות ובאמנויות! הוא יבצע ניסויים, יערוך הדגמות, ישיר, יכתוב ויצייר בעזרת כל המתקנים סביבו. השאלה היא "איך?" והתשובה נמצאת תחת הבד הזה, בבור! עכשיו, לנגד עיניכם, אנו נחבר אותו לבסיס החבוי שם, המילה האחרונה של תחכום מדעי וטכנולוגי! בבסיס טמונים עשרות רכיבים פרי פיתוח מקורי. מהבסיס הזה ישאב 'ההוגה' שלנו את כוחו ויכולתו המדהימים. לעבודה!"

ולקריאתו זו נענה צוות הטכנאים, שפסע אל ירכתי הבור בעוד המנוף מוריד את 'ההוגה' ואת אביזריו למטה. בתנועה חגיגית גלל משה את הבד מעל פי הבור והציץ מטה, ולולא תושייתם של הטכנאים היה נופל פנימה מעולף, שכן הבור היה ריק, חסר כל בסיס. רק קלטת וידאו הציצה מיותמת ממנו...

חברי ועד החירום הלאומי למאבק בד"ר לא הקשיבו בחדרם הסודי, בפנים חמורות, לקלטת:

"שלום ידידיי! מדבר אהובכם הנערץ ד"ר לא. ואכן יש בסיס להערצתכם על שנטלתי את הבסיס של מתקנכם המגוחך. הסיבה? במקום פסל 'ההוגה' - יש להציב שם פסל שמסמל באמת את גאונות המחשבה וההמצאה האנושית – פסלי שלי!"

"בשום אופן!" הכריז פקד כהן, ודפק על השולחן לחיזוק דבריו.

"אני משער", המשיכה הקלטת, "שברגע זה דפק פקד כהן על השולחן לאות סירוב. זה היה צפוי. ולכן בטוב לבי אני מציב בפניכם אפשרות נוספת. תוכלו למצוא את בסיסכם באחד מבסיסיי הסודיים. כדי להקל עליכם אני מודיע מראש: הבסיס נמצא אי שם בארץ ישראל. אם תסמנו את הבור במכון ויצמן כנקודת האפס של הצירים מזרח-מערב וצפון-דרום, ותסמנו רשת נקודות בשני הממדים, כל אחת במרחק של קילומטר מקודמתה, הבסיס מוסתר באחת מהנקודות האלה..."

הפקד כהן עצר את הקלטת והכריז בהתלהבות, "ד"ר לא נכשל בלשונו! עלינו פשוט לחפש בנקודות האלה!"

מתי מתוק המתמטיקאי חייך. "זו אפשרות, אבל לא הייתי ממליץ עליה".

"למה?" תמה הפקד.

"כי שטחה של ארץ ישראל המערבית הוא כ-27 אלף ק"מ" ומספר הנקודות האפשריות – קשה אמנם לדייק, אך הוא בסביבות 27 אלף נקודות! את ההסבר מדוע זה כך נדחה לפעם אחרת. בינתיים נקשיב להמשך".

הפקד הפעיל את הקלטת וד"ר לא המשיך, "אני מתאר לעצמי שפקד כהן הציע ברגע זה לחפש בכל הנקודות האפשריות ומתי צינן את התלהבותו. לכן אמשיך בהצעתי: היא מבוססת על משחק דמוי בייסבול. יש לעבור מבסיס לבסיס כדי לנצח אותי!
הרמז הראשון הינו שלושת השוויונים הבאים בין מספרים הכתובים בשני בסיסים שונים: a ו-b.
כל הבסיסים בחידותיי יהיו אך ורק מספרים טבעיים.

                                      בסיס b                בסיס a

                                        46         =         23

                                        48         =         24

                                        55         =         28 

אחד מהשוויונים הוא שקרי ואינו יכול להתקיים; השניים האחרים אמיתיים. בעזרתם תוכלו לגלות את ערך a ואת ערך b. עליכם לנוע לנקודה שנמצאת a ק"מ מערבה ו-b ק"מ צפונה. שם תגלו הוראה חדשה איך להתקדם לבסיסים הבאים".

מתי חישב ומצא מהו השוויון הבלתי אפשרי, ובעזרת שני השוויונים האחרים גילה מהו a ומהו b ונסע במהירות עם הפקד לנקודת הבסיס הבאה, שם מצאו את הפתק הבא:

"הריבוע והמשולש מסמנים שתי ספרות שונות בבסיס מסוים a. משלושת השוויונים, שניים הם בלתי אפשריים. מהשלישי תוכלו לגלות מהם  ומהו הבסיס. עליכם אז ללכת צפונה בשיעור, ומזרחה בשיעור  ותגיעו לבסיסי הבא ולחידה הבאה".

ואכן זאת עשה מתי, ומשהגיעו לנקודה הבאה מצאו בה את הפתק הבא:

                                    בסיס b                בסיס a

                                        36          =        40

                              בסיס a             בסיס b      בסיס a

                                    83       =       40     +     36                          

"לכו שוב מערבה בשיעור בסיס a וצפונה בשיעור בסיס b".

גם כאן פתר מתי את שיעורי שני הבסיסים ונע עם הפקד אל הנקודה הבאה. הפעם גילו דלת כבדה על פי מערה ועליה השלט, "כאן הבסיס של ד"ר לא האחד והיחיד, ובו חבוי הבסיס שלכם".

על הדלת היו מצויות ארבע ידיות מעוצבות בצורת שושנות רוחות:

ולידן נכתב, "אם תסובבונו בשיעור של 99 – הדלת תיפתח. אם תטעו – תתפוצצו עם הדלת והבסיס. כל סיבוב יכול להיות רק כפולה של 90 מעלות".

פקד כהן תהה: "מה הקשר בין הידיות ל-99, לכל הרוחות?"

מתי חייך: "לכל ידית ייתכנו ארבעה מצבים. עכשיו אנו נמצאים במצב של 0 0 0 0. נוכל לסובבן כך שייצגו את המספר 99". וכך אכן עשה. הדלת נפתחה והבסיס האבוד נמצא, ועוד באותו יום הושלמה החגיגה של חנוכת הפסל המופלא. בלי לאבד זמן החל הפסל לבצע את נפלאותיו מיד עם חיבורו לבסיס, בלי שנזקק לחילופין עם פסלו (שיש לשער שהיה מעורר חלחלה) של ד"ר לא.

נוסיף רק כי לבסיס הוצמד פתק מאת הדוקטור שבו נכתב, "אם הגעתם לפתק הזה סימן שמצאתם את בסיסכם. כל הכבוד! אך אל תנוחו על זרי הכבוד – בעוד a ימים יבוא התעלול הבא שלי. אם תרצו לדעת את שיעור a, הוא הבסיס למכפלה הבאה: 862=24*35.
להתראות,
ד"ר לא".

הקדמה לשאלות   

חלק מהשאלות להלן מחייבות פתרון של שתי משוואות בשני נעלמים. יש לשער שחלק מכם אינו יודע עדיין לפתור זאת, אי לכך מותר לכם להסתייע בהורים או חברים אחרי שתכתבו את המשוואות המתאימות. אם ברצונכם לנסות ללמוד איך פותרים, נדגים לכם כאן פתרון לדוגמה.

נניח שקיבלתם את שתי המשוואות הבאות

א. 2a+3b=21

ב.  3a+4b=29

נכפיל את המשוואה הראשונה ב-3 ואת השנייה ב-2 כדי שמקדמי a יהיו שווים ונקבל:

א.  6a+9b=69

ב.  6a+8b=58

נחסיר את המשוואה התחתונה מהעליונה ונקבל: b=5

נציב b=5 במשוואה א' ונקבל: 2a+15=21 לכן 3=a.

נסכם: נסו להביא את שתי המשוואות לצורה aבה הנעלמים hvhu באגף שמאל והמספרים בימין. כפלו אותן כך שמקדמי a יהיו שווים, החסירו ותקבלו משוואה בנעלם אחד. אם אתם מתקשים, הסתפקו בתשובות המכילות את המשוואות הלא פתורות.

בהצלחה.

שאלות

1. כדי להבין מדוע בדרך כלל (אבל לא תמיד) מספר הנקודות ברשת שווה בערך לשטח המכיל אותן, נבדוק את המקרים הבאים:

א. השתמשו בנייר משבצות כדי להקל על הפתרון: כמה נקודות (פינות של משבצות) אפשר להכניס בריבוע של 3*3? במלבן של 5*43? האם המספר משתנה אם "מזיזים" את הצורה?

ב. כמה נקודות לכל היותר אפשר להכניס לריבוע של  ½3 * ½3

ג. אם יש לנו מלבן m*n כך שm ו-n מספרים שלמים, האם תוכלו לכתוב נוסחה למציאת המספר המרבי של נקודות המוכלות בו? (גם הנקודות שעל הצלעות נספרות).

ד. כדי להשתכנע שלא תמיד מספר הנקודות קרוב לשטח, תנו דוגמה שבה שטח גדול ככל שנרצה לא יכיל אף נקודה מהרשת. ציירו דוגמהא כזו.

ה. האם יתכן כי בשטח כזה, כפי שמופיע בשאלה 3א', יהיה שטח חלקי שממדיו 1 ק"מ * 1 ק"מ?

עתה נעבור לשאלות הנוגעות לבסיסים. בסיפור הזה אנו עוסקים רק בבסיסים שהם מספרים טבעיים השווים ל-2 או או גדולים ממנו. נזכיר עובדה יסודית הנוגעת לבסיסים: במקרה העשרוני שאנו רגילים אליו, אם אנו כותבים 37 ערך המספר הוא 7+(3*10). לו היינו משתמשים בבסיס 8, ערך המספר בכתיבה עשרונית היה 31=7+(3*8). ועתה נעבור לשאלות:

2. א. איזה משלושת השוויונים הראשונים אינו יכול להתקיים בשום בסיס? (זכרו: ערכו של בסיס שלם הוא לפחות 2).

2. ב.שני השוויונים האחרים מספקים לנו שתי משוואות ל-a,b. מצאו את a,b.

3. א.אלו שני שוויונים אינם אפשריים? הסבירו! (רמז: ערך ספרה תמיד יהיה קטן מערך הבסיס).

3.ב. מתוך השוויון השלישי חשבו את  ואת הבסיס.

3.ג. כמה היה מתי צריך ללכת צפונה וכמה מזרחה?

4.בחידה השלישית, מהו a ומהו b? נצרף פה רמז ואזהרה מפני טעות נפוצה: כאשר אנו מבצעים פעולה, נניח 63-37, אם זה בבסיס עשרוני התשובה היא 26. אבל אם הבסיס הוא a התשובה אינה 26בבסיס a!

לדוגמה חשבו את הפעולה לעיל כשהכתיבה היא בבסיס 11. האם התשובה היא 26 בבסיס 11, כלומר 6+(2*11), השווה ל-28 בבסיס 10?

5. א.בסך הכל כמה קילומטרים מ נעו השניים צפונה וכמה מזרחה (או מערבה) עד לנקודה שבה מצאו את הבסיס?

5. ב.חשבו בעזרת משפט פיתגורס מהו המרחק בקו ישר מהבור למערה.

6.איך תסובבו את הידיות כדי לייצג את המספר 99?

7. א.נסו למצוא מתוך המכפלה מהו הבסיס – ולכן מתי יתרחש התעלול הבא של ד"ר לא. העריכו בערך מהו הבסיס ובדקו עד שתמצאו בסיס מתאים.

7.ב.שאלת בונוס: אלה מכם שיודעים לפתור משוואות ריבועיות, נסו לפתור בעזרתן את השאלה לעיל.

אמנון זקוב