חגיגה שכזו ספק אם נראתה אי פעם: מאות אנשים – מבוגרים, בני נוער ואף ילדי בית ספר וגני חובה – כולם בבגדי חג, מחולקים למאה צוותים, כשכל צוות כולל מבוגרים, בני נוער וילדים ביחד. כל צוות, על סמליו ודגליו, הריע את סיסמאותיו ברעש אופייני לעם ישראל, אבל למעשה כל הסיסמאות היו דומות זו לזו: "אנחנו נפצח, אנחנו ננצח!"
שרת התרבות ניסתה להסות את הקהל הנרגש בשיטות שהשתמשה בהן כשהיתה מורה בכיתה ו', אך לשווא. הרעש היה נמשך עד קץ הדורות אלמלא ניגש למיקרופון המנכ"ל, לשעבר אלוף בצה"ל, ואמר בשקט, "אני סופר עד עשר, ואם עד אז לא ישרור שקט התחרות מבוטלת: אחת, שתיים, שלוש..." ובארבע כבר אפשר היה לשמוע זבוב מזמזם. אחרי הכול, בשביל מה התאמנו המשתתפים במשך חודשים כה רבים ולבשו את בגדיהם היפים?
שרת התרבות פתחה ואמרה, "אני גאה לחנוך בזאת את התחרות הבינלאומית הראשונה בתבל להרכבת פאזלים. מאה מדינות שלחו מאה פאזלים, ואנו גייסנו מאה צוותים. כל צוות יקבל פאזל המורכב מ-110-100 חלקים וינסה להרכיב פאזל מלבני ובו ציור שכל מדינה בחרה לייצג בו את עצמה. עשרת המסיימים ראשונים יזכו בפרסים. אני גאה שגם ילדים משתתפים בתחרות, שכן הוכח כי ילדים מרכיבים פאזלים מהר יותר מהוריהם. בני הקטן נוהג לומר לי, "אמא, אם אין לך שכל להרכיב פאזל, איך תצליחי להרכיב ממשלה?!"
הקהל פרץ בצחוק אדיר וסדרנים חילקו את מאה הערכות הסגורות לצוותים הנרגשים, ואז ירה המנכ"ל באקדח ההזנקה. כל הצוותים קרעו את העטיפות והחלו להרכיב את הפאזלים בקצב מטורף.
הייתה זו כבר שעת בין-ערביים כאשר הטלפון צלצל בביתו של פקד כהן. מהאפרכסת בקע קולו של המנכ"ל: "פקד כהן, אנא התייצב במהירות בתחרות הפאלים. הבא איתך את מתי מתוק!"
השניים הגיעו לאולם, מתנשמים בכבדות. כל הצוותים נראו מותשים ומיואשים ורק ילדי הגנים עוד המשיכו לפרק ולצרף.
"מה קרה?" שאל מתי.
"בדרך כלל", ענה המנכ"ל, "הרכבת פאזל נמשכת כשעה, אך עברו כבר 10 שעות ואין אף צוות שהצליח!"
"אולי כל המדינות ניסו ליצור פאזלים קשים במיוחד כדי לפגוע במעמדה הבינלאומי של ישראל?" שאל הפקד.
"גם אני חשבתי כך", ענה המנכ"ל.
"אם כך, מדוע קראת לנו לבוא?" תמה מתי.
"מיד תראו", ענה המנכ"ל והוליך את השניים בין הצוותים.
השניים התבוננו בפאזלים המורכבים חלקית. כל צוות היה מצוי בשלב שונה, אך אי אפשר היה להתעלם מתופעה מוזרה: בכל הציורים החלקיים הופיעו זקן תיש, חיוך עקום, ושתי עיניים פוזלות.
פקד כהן אמר, "זה... זה לא ייתכן... זה, זה –"
"ד"ר לא", סיים מתי את המשפט.
"לא ייתכן שכל מדינות העולם ישלחו לנו פאזל עם ציור של הדוקטור", הכריז הפקד.
"אתה כל כך צודק", נשמע ברמקול קולו החורק והמוכר של ד"ר לא.
"העולם עוד לא מכיר בגאוניותי, ובעיקר ביופיי, לכן נאלצתי לבצע החלפה קטנה: מאה פאזלים בינלאומיים משעממים במאה פאזלים גאוניים ומקסימים שלי. מובן שיצרתי מערכת כללים משלי להרכבת הפאזלים:
א. בכל פאזל שלי ישנם 103 או 109 מרכיבים.
ב. כל מרכיב הוא משולש או מחומש.
ג. אורכה של כל צלע הוא מספר שלם ואי-זוגי של סנטימטרים.
ד. במגירה שבשולחן השופטים תמצאו ציור של סריג נקודות. המרחק בין כל שתי נקודות סמוכות הוא קילומטר, ומסומנת שם נקודת התערוכה.
ה. מקום המסתור שממנו אני מדבר אליכם נמצא באחת מנקודות הסריג, במרחק של חמישה קילומטרים בדיוק מנקודת הסריג של התחרות.
ו. את הפאזלים הטמנתי אחרי שהובלתי אותם לנקודה מסוימת בסריג, כשאני נע עליו רק בצורה אופקית או אנכית.
כל מה שאמרתי עד עתה הוא אמת. אך עתה המבחן העיקרי: משלושת המשפטים הבאים, רק אחד אמיתי:
ז. אפשר להרכיב את הפאזלים בתבנית מלבנית.
ח. הפאזלים המקוריים נמצאים איתי בנקודת המחבוא.
ט. בדרכי לנקודת המחבוא נעתי אופקית ואנכית, סה"כ 22 ק"מ, ובדרך, באחת מנקודות הסריג, הטמנתי את הפאזלים המקוריים.
ולסיום, הרשו לי לאמץ את ידי הצוותים ולעודד אותם עם ההכרזה הבאה: אם לא תפתרו את חידת הפאזלים בתוך שעתיים, אשרוף את הפאזלים המקוריים והתחרות תתבטל! הי הי". ובצחוקו הידוע סיים הדוקטור את נאומו והותיר את הקהל המום ונרעש.
"צוותים יקרים!" קרא הפקד מנהמת לבו. "למען הכבוד והתפארת של מדינת ישראל, אנא, אמצו כל שריר בידיכם ובמוחותיכם ופענחו את סוד הפאזלים של ד"ר לא!"
"לתפארת מדינת ישראל", קראו בהתלהבות כל הצוותים, ובמיוחד ילדי הגן. אולם אז נשמע קולו השקט של מתי: "אנא המשיכו להשקיע את יכולותיכם לתפארת מדינתנו, אך לא בהרכבת הפאזלים שלפניכם, כי פענחתי את סודם. אין שום אפשרות להרכיב מהם פאזלים מלבניים!"
"על סמך מה אתה אומר זאת?" מחה המנכ"ל. "הרי לא ניסית את כל האפשרויות!"
"לעולם לא הייתי מספיק לנסות – יש מיליארדי אפשרויות להתאים 103 או 109 צלעונים. לעומת זאת, קיים נימוק אחד השולל כל אפשרות להצלחה". ומתי הסביר אותו לקהל.
"אם כך", הכריז פקד כהן, "סעיף ז' הוא שקרי. אך איך נדע מה הסעיף האמיתי בין ח' לט'? הלא יש המון אפשרויות, אם אפשר לטמון את הפאזלים במרחק של חמישה קילומטרים, ובמקרה הגרוע ביותר הם טמונים אי שם באחד מהמוני המסלולים של 22 קילומטר!"
הוא הציג בפני הקהל את תרשים הסריג שהותיר ד"ר לא במגירה.
"למזלנו", חייך מתי, "לו היה הדוקטור בוחר ב-21 קילומטר או במספר דומה לו, כי אז אכן היינו בבעיה קשה. אך ה-22 פוסל את ט', ולכן המטמון הוא ב-ח'".
ואכן, בעזרת הצוותים שנשלחו לנקודות הסריג השונות המרוחקות חמישה קילומטרים בקו אווירי נמצאו כל הפאזלים. למחרת התחדשה התחרות לשמחת הצוותים ולתפארת מדינת ישראל. כל פאזלי ד"ר לא הועברו למוזיאון המלחמה בד"ר לא, למען תכיר האומה את תכסיסי אויבה המסוכן ביותר.
ונותרה הבעיה: איך פתר מתי את החידה?
שאלות מנחות ורמזים לפתרון
ראשית, קראו מחדש בעיון את דברי ד"ר לא ועיינו בציור סריג הנקודות. אחרי כן ענו על השאלות.
א. מדוע אי אפשר להרכיב מלבן (שבו אורכי הצלעות הם מספרים שלמים) מ-103 או 109 משולשים או מחומשים שאורך כל צלע בהם הוא מספר אי-זוגי? הצעה: ציירו פאזל קטן וראו איך מורכבים בו הקווים הפנימיים והחיצונים. האם גם 102 חלקים אי אפשר עקרונית להרכיב?
שימו לב: כדי להוכיח שההרכבה אפשרית די להראות דוגמת הרכבה אחת. כדי לשלול עלינו להראות שאף אחת ממיליארדי ההרכבות האפשריות אינה תקינה. לו היינו צריכים להראות זאת הרכבה אחר הרכבה לא היינו מסיימים בתקופת חיינו, לכן יש לחפש נימוק כללי.
ב. התבוננו בציור הסריג. כמה נקודות ואיזה נקודות בדיוק נמצאות במרחק אווירי של חמישה קילומטרים ממקום התחרות. זכרו את פיתגורס.
ג. מהן הדרכים הקצרות ביותר להגיע בתנועה אופקית ואנכית בלבד על הסריג מנקודת התערוכה לנקודות המחבוא האפשריות?
תארו את הדרכים הקצרות ביותר על ידי מספרי הצעדים האופקיים או האנכיים שצריך כדי להגיע לנקודות המחבוא.
ד. מדוע לא ייתכן מסלול של 22 קילומטר?
רמזים
אם אתם מתקשים בפתרון, הרי סוד קטן שהגיע לאוזני העומד ביסוד שאלות א' וד': פתרונן עומד על זוגיות ואי-זוגיות
לגבי שאלה א', התבוננו בציור לדוגמה של הפאזל. הוא מורכב מקווים פנימיים וממסגרת מלבנית חיצונית. איך מתייחסים שני המרכיבים לשאלת הזוגיות?
לגבי שאלה ד': איך מתייחס מסלול סגור כלשהוא שמתחיל ונגמר באותה הנקודה על הסריג לשאלת הזוגיות?
הפתרונות
א. נוכיח בדרך השלילה שאין אפשרות להרכיב מלבן ממספר אי-זוגי של מחומשים ומשולשים כאשר אורכי צלעות המלבן הם מספרים שלמים ואורכי צלעות המצולעים הם מספרים אי-זוגיים. למטרה זו נחשב את הסכום של היקפי כל המרכיבים (סכום אורכי כל הצלעות) בשתי שיטות שונות – פעם אחת נתבונן בחלקים הנפרדים ובשנייה נתבונן בחלקי הפאזל המורכב. נבדוק אם שתי התוצאות תהיינה זהות.
סכום ההיקפים של כל החלקים הנפרדים הוא מספר אי-זוגי: ישנו מספר אי-זוגי של חלקים וההיקף של כל חלק הוא מספר אי-זוגי (מפני שהחלקים הם מחומשים או משולשים ואורך כל צלע הוא מספר אי-זוגי).
להלן דוגמה לחישוב סכום ההיקפים עם שני חלקים בלבד. לתשומת לבכם: הדוגמה איננה עם מספר אי-זוגי של חלקים!
אפשר לחשב את הסכום הזה באופן אחר כאשר הפאזל מורכב: בכל הקווים הפנימיים של הפאזל נפגשות שתי צלעות, לכן סכום אורכי הצלעות האלה (הפנימיות) חייב להיות מספר זוגי. כל אחד מהקטעים המרכיבים את מסגרת הפאזל שייך רק לחלק אחד, אך גם סכום אורכי הצלעות האלה הוא מספר זוגי. זה נכון משום שהיקף המלבן הוא הסכום של פעמיים אורך המלבן ופעמיים גובה המלבן. במקרה שאורך וגובה המלבן הם מספרים שלמים, היקף המלבן חייב להיות מספר זוגי.
בסך הכול סכום ההיקפים של כל החלקים זוגי, מפני שהוא מורכב משני מספרים זוגיים: סכום אורכי הצלעות המרכיבות את הקווים הפנימיים וסכום אורכי הצלעות החיצוניות.
להלן דוגמה נוספת לחישוב סכומי ההיקפים. הפעם מתבוננים בפאזל המורכב.
בשיטה הראשונה היסקנו שסכום כל ההיקפים חייב להיות מספר אי-זוגי. בשיטה השנייה היסקנו שסכום אורכי כל הצלעות הוא מספר זוגי. זו סתירה, ולכן אין מלבן המורכב ממספר אי-זוגי של מחומשים ומשולשים, שבו אורכי הצלעות הם מספרים שלמים ואורכי צלעות המרכיבים הם מספרים אי-זוגיים.
לגבי החלק השני של השאלה, אין שום בעיה להרכיב מלבן מ-102 משולשים ומחומשים מתאימים – אפשר למשל להרכיב מלבן מ-51 מלבנים המופיעים באיורים הקודמים
ב. בסריג ישנן 12 נקודות במרחק אווירי של חמישה קילומטרים מהתחרות. את הנקודות האלה אפשר למצוא בעזרת שתי האפשרויות להציג את המספר 52 כסכום של שני ריבועים של מספרים שלמים: 52=32+42 או 52=52+02.
ג. לפי משפט פיתגורס, אורך הדרכים הקצרות ביותר הוא חמישה צעדים (או חמישה קילומטרים) לארבע מהנקודות ושבעה צעדים (או שבעה קילומטרים) לשמונה הנקודות הנותרות אם נעים על הניצבים.
ד. נניח שהיה מסלול של 22 קילומטר בין התחרות למחבוא. במקרה כזה יכולנו לחזור משם לתחרות בדרך הישרה שאורכה הוא חמישה או שבעה קילומטרים. כדי להגיע ל-22, התוספת צריכה להיות בסך הכול מספר אי-זוגי. זה לא ייתכן, כי כשחוזרים לנקודת המוצא על סריג צריכה להיות לכל תנועה שמאלה או למעלה צריכה להיות תנועה מקבילה באותו אורך ימינה ולמטה. לכן סך כל הצעדים הנוספים בסריג צריך להיות מספר זוגי.
דיון מורחב בבעיה
במתמטיקה, על מנת להוכיח שפתרון מסוים אינו קיים כדאי הרבה פעמים לחפש קבוע אינווריאנטי. המילה "אינווריאנטי" באה מלטינית ופירושה "לא משתנה". הקבוע האינווריאנטי הוא מספר קבוע ששייך לדבר שאנו בודקים ואינו משתנה כשהדבר עצמו עובר שינוים. במקרה שלנו, ה"דבר" הוא הפאזל, ולפאזל יש הרבה קבועים אינווריאנטיים, כגון מספר המרכיבים, השטח שלו וסכום אורכי הצלעות של כל החלקים. המספרים האלה אינם משתנים כשמרכיבים את הפאזל או מפרקים אותו, ויכולים לעזור לנו להוכיח שפאזלים מסוימים אינם יכולים להתקיים.
האם אתם זוכרים את הסיפור שאלה של אסטרטגיה? גם סכום כל המספרים שנדבקו על מצחי הכלואים הוא קבוע אינווריאנטי.
אמנון זקוב
