צלצול הטלפון היה חזק ואכזרי. מתי קפץ המום ממיטתו.
"מי זה?" שאל בקול ניחר.
"פקד אלברט כהן", השיב לו ידידו. מתי הביט בשעון. 3:00 בלילה.
"יצאת מדעתך?!"
"לא מדעתי, אלא מחלום מדהים!"
"ולא יכולת לחכות לבוקר כדי לספר לי?"
"לא, כי עלי לחזור לחלום בתוך עשר דקות. כך התחייבתי!"
מתי לא האמין למשמע אוזניו והגיע למסקנה שחברו הטוב הוזה.
"מה זאת אומרת שהתחייבת לחזור לחלום? אפילו בשלוש בלילה לא מקובל לדבר שטויות שכאלה!"
"אם תקשיב, מתי, תגלה שמדובר בעניין רציני ביותר! ובכן, בחלומותיי אני אוהב לתייר במקומות מופלאים בתבל, אך הלילה נחתתי במקום המדהים והמפחיד ביותר מכל חלומותיי! מצאתי עצמי בארץ יפהפייה ועצובה. ברגע שנחתתי שם, בחללית החלומות שלי, הקיפו אותי אלפי תושבים בוכים וזעקו, 'אתה מושיענו. אתה תציל אותנו מהמכשף, בהיותך קצין משטרה ישראלי מפורסם'. נעם לי כמובן לדעת ששמי ידוע בארצות החלומות ושאלתי, 'מיהו המכשף?' התושבים ענו בבכי, 'זהו לאבנגאלא מלך זאלא, הקוסם הרשע. הוא מחרים את כל רכושנו הדל, קונה בו יהלומים ומתקין אותם במקדש המוקדש אך ורק לעצמו. כל המנסה לחדור פנימה ולהשיב את הגזלה יומת על ידי כישוף נורא'.
'אחריי!' קראתי, כפי שאני רגיל לקרוא לפיקודי, וצעדנו אל שערי המקדש. אך בפתח, בגלימה שחורה, ניצב המכשף, כשהוא צוחק, 'הי, הי' מעורר צמרמורת, שמזכיר מישהו המוכר לשנינו...
וכך אמר לי האיש הרע: 'אני מבין שהגעת במיוחד בחללית החלום שלך, כדי לעשות צדק ולהחזיר את הגזלה לעם. זה מעיד על אופי טוב וערכים מוסריים, אך אלה לא מספיקים כדי להתמודד עמי. כדי להסיר את הכישוף מיהלומיי תצטרך לפתור כמה חידות מתמטיות שיצר מוחי הגאוני. הצרה היא שמי שלא פותר – נפטר מן העולם, הי הי. האם אתה מוכן להתמודד עמי?'
כאן פקד אותי פיק ברכיים רגעי, אך לפתע עלה בי רעיון מבריק וכך השבתי, 'אתייצב מולך בעוד עשר דקות בלוויית מתמודד נוסף!'
'בבקשה', השיב המכשף בגיחוך, 'אם אתה מאמין ששני חסרי-בינה חכמים יותר מטיפש אחד'.
מיד הפעלתי את החללית, נסעתי ברוורס עד שהתעוררתי, ואני מבקש ממך להצטרף מיד לחלומי כדי שנתמודד עם הלאבנגאלא הזה ונציל את עמו! נותרו בדיוק עוד ארבע דקות".
למשימת חירום שכזו לא יכול מתי לסרב.
"היכן ניפגש?" שאל.
"בשערי המקדש, בעוד ארבע דקות. איך תגיע?"
"יש לי חללית משלי" השיב מתי בחיוך.
"אל תטעה בניווט", התחנן הפקד. "אתה עלול לנחות בחלום אחר".
* * * * *
שתי חלליות החלום נחתו בדיוק של שנייה בפתח המקדש.
"פתח את השער!" הרעים הפקד בקולו על לאבנגאלא.
"למה לצעוק כשהשער נפתח בנגיעה קלה?" חייך המכשף, נגע בו באצבע קטנה והשער נפתח.
"הבעיה במקדש אינה הכניסה, אלא היציאה", הוסיף בדרך אגב. ואכן אך עברו השלושה את הפתח והנה נטרקו השערים ונסגרו ברעם. הם מצאו את עצמם באולם מרהיב שבמרכזו תצוגת יהלומים מדהימה.
"אלה יהלומי הקסם שרכשתי בעזרת גזל העם", הסביר המכשף באדיבות. "כפי שתראו, הם ערוכים בתוך ריבועי משבצות".
"אלה יהלומי גזל, ולא יהלומי קסם", מחה הפקד.
"אדוני טועה", השיב המכשף. "הם גם גזל וגם קסם"
אם תתבוננו, תוכלו לראות שהם ערוכים כריבועי קסם, אלא שבמקום מספר כתוב קבעתי בכל משבצת יהלומים שמספרם כמספר בריבוע הקסם.
הריבוע הראשון, צורתו כצורת ריבוע הקסם הידוע 3*3, המכיל את המספרים מ-1 ועד 9.
 |
הריבוע השני הוא ריבוע 4*4 ובכל משבצת יש עשרה יהלומים. זה אמנם לא מתוחכם, אך עדיין מקיים את כל כללי ריבוע הקסם: סכום שורותיו, טוריו ואלכסוניו זהה!
 |
הריבוע השלישי הוא ריבוע הקסם הידוע 4*4 שבו מצויים המספרים שבין 1 ל-16.
 |
הריבוע הרביעי הינו ריבוע 5*5 המכיל את כל המספרים שמ-1 ועד 25.
 |
"כל שעליכם לעשות הוא ליטול יהלומים כפי יכולתכם ולהחזירם לעם..."
"זה הכל!" שאג הפקד בזלזול, וניגש מיד למלאכה. אבל אז הוסיף המכשף, "כמעט הכל... שכחתי כמה פרטים:
א. נדרשות עשר דקות כדי לעקור יהלום ממקומו.
ב. בתום כל שעה בדיוק מרגע כניסתו למקדש יכול אדם לצאת עם היהלומים שאסף והשערים ייפתחו בשבילו.
ג. אבל זאת בתנאי שהריבועים נותרו ריבועי קסם גם אחרי שנלקחו מהם היהלומים בתום כל שעה!
אם לא, תצא אש מהיהלומים שנותרו ותאכל את השודד".
הפקד הניע ראשו באי-אמון. "אין דבר כזה בחיים, שיוצאת אש מהיהלומים!" הכריז.
"בחיים – לא, אבל בחלומות – בהחלט!" השיב המכשף.
"סלח לי", שאל מתי בנימוס. "מותר לנו לשהות במקדש מספר שעות שלמות כרצוננו, בתנאי שבתום כל שעה כל ריבועי היהלומים יהיו ריבועי קסם?"
"בהחלט", השיב לאבנגאלא.
"התנאי לכך שריבוע נשאר ריבוע קסם הוא שבכל שורותיו, טוריו ואלכסוניו מספר היהלומים יהיה זהה, אפילו אם הוא אפס?"
"בהחלט" השיב המכשף ולקולו חלחלה לראשונה נימה של דאגה.
"האם יעמוד לרשותנו די מזון ומשקה עד שנסיים את המלאכה?"
"כן" השיב המכשף באי-רצון ובקול מודאג יותר ויותר.
"עברו כבר חמש דקות", ציין מתי. "הגיע הזמן להתחיל להחזיר את היהלומים לבעליהם".
"אני מתחיל לעקור", הכריז הפקד, ושלח ידו לריבוע 3*3. מתי עצר בעדו. "מוטב שנקדיש חמש דקות לתכנון העבודה. אם נפעל כראוי נוכל בכוחות משותפים לסיים את המלאכה ב..."
כאן לא שמענו את סיום המשפט בגלל נחירה קלה של הפקד בשנתו, לכן לא נותרה בידינו הברירה אלא לפנות אליכם בשאלות הבאות, שיעזרו לנו לפענח כמה זמן שהו השניים במקדש וכמה יהלומים החזירו לעם לפני שהתעוררו.
שאלות
א. מאחר שכל עשר דקות יכול כל אחד מהם לעקור יהלום, כמה יהלומים לכל היותר יכולים השניים לעקור יחד בכל שעה?
ב. התבוננו בריבוע 3*3. מהו המספר הקטן ביותר של יהלומים שאפשר לעקור ממנו כך שיישאר ריבוע קסם?
ג. האם אפשר לבצע את זה בעזרת אדם יחיד ב-50 הדקות שנותרו? האם אפשר לבצע את זה בעזרת השניים?
ד. אם כך, כמה יהלומים הצליחו השניים לעקור מריבוע 3*3 בתום 50 הדקות וכמה נותרו בו? ציירו את הריבוע שנותר ומספרו היהלומים שבמשבצותיו. האם אפשר להמשיך לעקור יהלומים בריבוע הזה?
ה. בריבוע של 4*4 חשבו מהו המספר הקטן ביותר של יהלומים שיש לעקור כך שהוא יישאר ריבוע קסם?
אם אנו עוקרים יהלום אחד, למשל בשורה מס' 1, סכומה יפחת באחד ועלינו לדאוג שגם בשלוש השורות האחרות יפחת הסכום. בכל שורה באחד בדיוק. אולם עלינו לדאוג שההפחתה הזו תפחית באחד בדיוק גם את מספר היהלומים בכל אחד מהטורים והאלכסונים.
לדוגמה, אנו יכולים לעקור יהלומים באופן הבא, כאשר כל נקודה שחורה מסמלת עקירה של יהלום יחיד. בצורה זו אכן עקרנו יהלום יחיד בכל שורה ובכל טור, אולם באלכסון הראשי עקרנו שניים ובאלכסון המשני אפס והתוצאה אינה ריבוע קסם! האם תוכלו לסמן, באופן דומה עקירה של ארבעה יהלומים כך שיוותר ריבוע קסם?
ו. חפשו עתה את כל הרביעיות שאם משתמשים בהן לעקירת ארבעה יהלומים הריבוע נשאר ריבוע קסם. לפניכם ציור של שתיים מהןף שמסומנות ב-1 וב-2. כל אחת מהרביעיות האלה מותירה ריבוע קסם ואפשר לחזור עליהן כמה פעמים שנרצה עד שיישאר תא ריק ולא נוכל להמשיך.
לדוגמה, אם נחזור על הרביעייה 1 עשר פעמים בריבוע השני, יישאר ריבוע הקסם הבא:
מצאו עתה את כל הרביעיות האפשריות. נגלה לכם שמספרן שמונה. רשמו אותן במשבצות ריבוע של 4*4 באותו אופן שבו רשמנו בציור את הרביעיות 1 ו-2.
אם מצאתם ורשמתם בדייקנות, תגלו שבכל משבצת מ-16 המשבצות רשומים המספרים של שתי רביעיות בדיוק.
ז. עתה תכננו את עקירת היהלומים כך שבתום התהליך לא ישאר אפילו יהלום אחד בריבוע, אך בכל צעד בדרך עדיין יישאר ריבוע קסם.
ח. אם השניים עובדים בתיאום, כמה יהלומים הם עוקרים בשעה? אם כך, כמה זמן יעבור עד שיעקרו את כל היהלומים בריבוע הזה?
ט. ועתה עברו לריבוע השלישי של 4*4 המכיל את המספרים מ-1 ועד 16. זו שאלה קשה יותר, שכן כאן המספרים שונים ממשבצת למשבצת. השתמשו בציור שהכנתם בשאלה הקודמת שבו בכל משבצת מסומנים מספרי שתי הרביעיות הכוללות את המשבצת הזו והשוו זאת לריבוע עצמו. התחילו במשבצת המכילה יהלום יחיד, לכן נוכל להשתמש אך ורק ברביעייה אחת מהשתיים שעוברות בו, ורק פעם אחת, ואילו ברביעייה האחרת לא נוכל להשתמש כלל.
נניח שמספרי הרביעיות הללו הם 5 ו-6, כאשר 6 מתאפסת ו-5 מיושמת רק פעם אחת. חפשו עתה במשבצות היכן מופיעות 5 ו-6 ותוכלו לחשב כמה פעמים צריך להשתמש בבני זוגן, וכך תגלו שאפשר לדעת כמה פעמים משתמשים בכל רביעייה עד שכל היהלומים נעקרים. רשמו זאת, למשל, בצורה הבאה:
רביעייה 1: 8 פעמים; רביעייה 2: 3 פעמים; וכו' (לא דוקא במספרים אלו, אלא באלה שחישבתם).
י. עתה חשבו: אם השניים יעבדו ביעילות, כמה זמן יעבור עד שיצליחו לעקור את כל היהלומים בריבוע הזה?
יא. שאלת בונוס: עתה עברו לריבוע 5-5 המכיל את המספרים מ-1 ועד 25. זוהי שאלה הרבה יותר מסובכת!
המטרה: לעקור את מספר היהלומים הגדול ביותר האפשרי. אתם מוזמנים להגיש את הצעותיכם לאופן שבו אפשר לבצע את זה. המשיבים שיעקרו את המספר הגדול ביותר יזכו בפרס!
אתם רשאים לעשות זאת בדרככם, אך למען הסדר והבדיקה העצמית מומלץ לעבוד באופן הבא:
1. סמנו חמישיות של עקירות אפשריות, בדומה למה שעשינו בשאלה הקודמת עם הרביעיות. נגלה לכם שאם תמצאו את כולן תגלו שמספרן הוא 16. סמנו אותן בריבוע של 5*5.
משבצת בריבוע זה יכולה להראות כך:
כלומר: במשבצת זו עוברות החמישיות 2, 3 ו-15.
עתה נסו לתכנן את העקירה. בחרו בחמישיות "פוריות", כלומר אלה שאפשר לעקור בעזרתן הרבה יהלומים לפני שמשבצת כלשהיא תתאפס ואי אפשר יהיה להמשיך בהן. חשבו את התוצאה שקיבלתם ואת הזמן הדרוש לביצוע המשימה על ידי שני אנשים. חלסיום חשבו כמה יהלומים עקרו בסך הכול מכל הריבועים ואת הזמן שבו שהו במקדש.
אמנון זקוב
