מתי מתוק ופקד אלברט כהן שתו יחד קפה מהביל של 5 אחר הצהריים, ואז כשהטלפון צלצל נשמע קול של אישה דוברת אנגלית – תקיף, מנומס, אך עם שמץ של בהלה: "האם אפשר לשוחח עם מר מתוק?"
"הנני", ענה מתי.
הדוברת נאנחה בהקלה והמשיכה, "אני בצרה והומלץ בפניי לפנות אליך, אך ברצוני להקדים ולבדוק אם אתה ראוי להמלצות".
"מיהי גבירתי?" שאל מתי.
"רביעי בראשונים הוא שמי העברי, מספרו הסידורי – הראשון בין ראשונים. בשמונה על שמונה אני שליטה ולא מאיים עלי בריבוע מחר".
"מה הקשקוש הזה?" נזעק הפקד. "שתחליט אם היא ראשונה או רביעית, ואם לא מאיימים עליה אז למה היא בצרה? אולי זאת מתיחה? אולי..."
אך כאן היסה אותו מתי בסתימה עדינה של פיו וענה באנגלית, "הוד..."
"בלי שמות" נשמע קולה המתחנן של המטלפנת, "השיחה חייבת להישאר סודית!".
"מה רצונה ומה בקשתה?" שאל מתי.
"אנא, בוא עוד היום לבקרני בביתי ונשוחח", היתה התשובה.
ואכן, באותו ערב התייצבו מתי והפקד בארמון בקינגהם בלונדון, בפני המלכה אליזבט השנייה.
"הבה ניגש לעניין", סחה המלכה תוך לגימת התה המסורתית. "מחר נפתחת בלונדון תחרות הגביע העולמי לשחמט, בחסותי. טובי השחקנים יתמודדו על התואר "מלך מלכי השחמט". אולם אמש נתקבל מכתב חצוף ביותר מאדם בשם ד"ר לא המצווה עלי, מלכת הממלכה המאוחדת, לקבוע בצו מלכותי כי הוא, ד"ר לא, הינו מלך מלכי השחמט. ולא – הוא ינקום במשתתפים ובקהל נקמה כזו שגם מט סנדלרים יהיה מעשה רחמים לעומתה. ביררתי באינטרנט מיהו ד"ר לא וכך הגעתי אליך, מתי, האדם היחיד המתמודד עמו בהצלחה. אנא הצילני מידי איש זד זה, ובתמורה אעניק לך תואר אצולה: 'לורד מתי השחמטי'".
"גם אני רוצה", פלט הפקד.
אך מתי ענה בעדינות, "איש פשוט הנני ולא לורד, ואסתפק בפתרון בעיה..."
"מדאיג אותי שהפעם ד"ר לא מתכנן לפגוע גם בקהל", אמר פקד כהן, כשסבבו בין ביתני ההימורים, שכן כדרך האנגלים אין תחרות ללא הימורים. ואכן, ביתנים שונים הציעו הצעות הימורים שונות כדרך שמציעים בהימורי סוסים. אך ביתן אחד בלט מעל כולם, שכן אלפי אנשים הצטופפו סביבו ונאבקו על זכותם להמר בשני ההימורים שהציע.
ההימור הראשון הופיע בצורת המודעה הבאה:
 |
ההימור השני היה שונה באופיו. עשרות לוחות שחמט עמדו לרשות המהמרים וארגז מלא בריבועי משבצות ומלבני משבצות בכל הצורות האפשריות, כאשר אורך הצלעות הוא בין משבצת אחת לשמונה משבצות שחמט. תמורת חמש לירות סטרלינג נדרש כל משתתף לכסות במדויק, בעזרת הריבועים והמלבנים, לוח שחמט, כשעליו להשתמש בלפחות 13 צורות שאף אחת מהן אינה זהה לרעותה. הפרס כאן היה חמישה מיליוני לירות סטרלינג.
פקד כהן, הידוע כמהמר טוטו נלהב, לא ידע את נפשו מרוב התרגשות. "מתי, בעל הדוכן השתגע!" זעק. "אני הולך להמר וחוזר עם מיליונים! בהימור הראשון, כמה אפשרויות יכולות להיות בסך הכול כאשר כל אחד משחק בדיוק שבעה משחקים?! הרי לראשון יכולות להיות לכל היותר שבע נקודות! אפילו אם ישנן כמה אלפי אפשרויות – עדיין כדאי! זהו הימור בטוח. גם ההימור השני שווה ניסוי – אני טוב מאוד בהרכבות לגו ופאזלים. מה אתה אומר?"
אבל מתי התבונן לרגע בפניו של מנהל הביתן, ברנש מוזר למראה, ואחר פנה לבלש הבריטי המוסווה שצעד עמם ולחש דבר מה על אוזנו. בתגובה הסתער הבלש על הדוכן, והמנהל, בקפיצה אקרובטית, דילג מעל השולחנות ונעלם בתוך ההמון הנסער.
"מה זה היה?" שאל הפקד ההמום.
"זה היה ד"ר לא", השיב מתי, בעוד צוות הסקוטלנד יארד הכריז ברמקול שכל משתתפי ההימורים בביתן מוזמנים לקבל את כספם בחזרה, שכן מדובר בתרמית כפולה.
"מניין לך?" תמה הפקד.
"נדבר אחר כך", השיב מתי, "שכן חוששני שפתרנו רק את המזימה כלפי הקהל ועדיין מחכה לנו תעלול הנוגע לאלופי השחמט".
והשניים נכנסו לאולם שבו עמדה להיפתח בעוד רגע התחרות החגיגית. ואכן לצלילי ההמנון הבריטי "אלוהים נצור את המלכה" הזדקפו כל המוזמנים ופרצו בתשואות כאשר המלכה פסעה פנימה, לבושה שמלה משובצת ריבועים שחורים ולבנים לכבוד משחק המלכים, והכריזה בקול מלכות:
"בזאת הריני פותחת את תחרות גביע העולם ומזמינה את שמונת המשתתפים לצעוד פנימה". כל העיניים נסבו אל הפתח בבמה, אך איש לא נכנס. משחלפו דקתיים נשלח מארגן התחרות לחפשם. הוא חזר בפנים חוורות ולחש דבר מה למלכה., שהחווירה גם היא, אך בשליטה עצמית אופיינית הודיעה במיקרופון, "תקלה זמנית, אבקש מאורחינו הישראלים, מר מתוק ומר כהן, להצטרף אלי להסדרת התקלה".
המלכה, פמלייתה, נציגי הסקוטלנד יארד ושני ידידינו ניצבו מול הדלת הנעולה. מאחוריה נשמעו תחנוני השחמטאים: "שחררו אותנו, בבקשה. אנחנו נחנקים מחוסר אוויר".
"מה הבעיה?" תמה פקד כהן. "בעיטה אחת שלי, או לכל היותר ירייה במנעול – והדלת נפתחת".
אולם מתי היסה אותו והצביע על פתק שהוצמד לדלת. וכך היה כתוב בו:
"קורבנותיי היקרים!
למרות אזהרותי העזתם לערוך את תחרות גביע העולם במקום להעניקו לי. אי לכך לא הותרתם לי ברירה אלא ללמדכם לקח שחמטאי: ראשית, כלאתי את כל השחמטאים בחדר, במצב של פט – כלומר אין אפשרות בשלב הזה לזוז או לצאת. ושנית, יצרתי איום של מט: כל מי שינסה לפרוץ את הדלץ יגרום לפיצוץ אדיר ויקצץ בשמונה את מספר האלופים בשחמט העולמיים, הי הי.
ושלישית, אני מציב בפניכם חידה שחמטאית:
כפי שתראו, הצמדתי לדלת מתקן הבנוי כלוח שחמט, ובצדו לוחית קטנה שעליה המילה 'לא'. אם אתם מאמינים שאפשר להציב על לוח שחמט 13 פרשים, כאשר אין פרש המאוים על ידי פרש אחר ואין משבצת המאוימת על ידי שני פרשים לפחות, לחצו על המשבצות האלה במתקן ודמויות 13 הפרשים תופענה במקומות שבחרתם. אם צדקתם, הדלת תיפתח. אם טעיתם אז... שח-מט, הי הי...
אם תחליטו כי לא קיימת אפשרות כזו, לחצו על הלוחית. אם צדקתם, היא תיפתח. אם לא, שוב שח-מט. הי הי.
להתראות בפיצוץ,
יקירכם,
ד"ר לא".
פני הפקד קדרו: "מתי! זו בעיה קשה! ישנן המון אפשרויות להציב 13 סוסים על 64 משבצות".
"אתה צודק", השיב מתי "נמספר מסומן על ידי 
וערכו 
, שהוא מספר בן כ-16 ספרות!"
"אמנם די אם נמצא אפשרות אחת טובה ופתרנו", המשיך פקד כהן "אך אם לא יתמזל מזלנו, ונצטרך לבדוק כל אפשרות ואפשרות, זה ייקח בוודאי כמה שעות טובות".
"הרבה שעות טובות", הסכים עמו מתי. "ליתר דיוק כמה מיליוני שנים!"
"השחמטאים לא יחזיקו מעמד זמן כה רב", נבעת הפקד – ורק אחר כך תפס מה אמר ופרץ בצחוק מר. "ומה אם אין אפשרות כזו? הרי כדי להוכיח זאת עלינו להוכיח כי אף אחת ממיליוני ביליוני האפשרויות אינה מתאימה!"
"אתה צודק", השיב מתי. הוא נטל לוח שחמט ושלושה עשר פרשים, הציב אחדים מהם, רשם רשימות קצרות, הרהר מעט, ואחר לחץ על הלוחית "לא".
"לא! מה אתה עושה? אולי דילגת על אפשרויות?!" זעק הפקד – אך הוא איחר את המועד, שכן הדלת נפתחה לרווחה ושמונת השחמטאים פרצו החוצה, מתנשמים בכבדות אך שמחים על כי לא נאלצו לחכות מיליארדי שנים.
"לורד מתי שחמטי", פנתה אליו המלכה בטקס לאחר שכל תחנוניו להישאר לא אציל נדחו על ידי המלכה וממשלת בריטניה. "איך הגעת לכל מסקנותיך המדהימות?"
את שהשיב מתי למלכה לא נפרט כאן, אלא נשאיר לכם להציע את התשובות.
כמנהגנו, אנא ענו על סדרת השאלות הבאה, שמכוונת ומרחיבה את הבנתנו את החלטותיו של מתי.
שאלות
1. שאלה לא רק מתמטית: איך פענח מתי את רמזי המטלפנת וגילה כי היא המלכה אליזבט השניה? (רמז: מקור השם בעברית הוא "אלישבע").
2. כדי לחשוף את ההונאה בהימור הראשון של ד"ר לא, ענו על השאלות הבאות:
א. כאשר משחקים שמונה אנשים, וכל אחד משחק משחק יחיד עם כל אחד אחר, כמה משחקים יהיו בסך הכול?
ב. הכלילו את התשובה ל-n משתתפים.
ג. כאשר חלוקת הנקודות היא 1 לניצחון, 0 להפסד, ו-½ לתיקו, אזי מה אתם יכולים לומר על מספר הניצחונות בהשוואה למספר ההפסדים בכל תחרות שהיא?
ד. ומה אתם יכולים לומר במקרה הזה על המספר הכולל של כל הנקודות שהושגו במשחקי תיקו? האם יכול למשל להיות שבתחרות כלשהי יעמוד סך מספר הנקודות שהושגו בתיקו על 9 וחצי?
ה. אם כך, מהי ההונאה בהימור הראשון? האם קיימת אפשרות כלשהי לזכות בפרס כאשר מחשבים את מספר הנקודות לפי הכללים?
3. כדי לחשוף את ההונאה בהימור השני ענו על השאלות הבאות:
א. מה יהא ממוצע מספר המשבצות לצורה ב-13 צורות אם הן תכסינה בדיוק לוח שחמט?
ב. רשמו את 13 הצורות השונות הקטנות ביותר מבחינת שטח בסדר עולה. ברור שהצורות הראשונות תהיינה 2*2, 4*1, 3*1, 2*1, 1*1 וכו'. האם הן מכסות בדיוק לוח שחמט? בהתאם לתשובתכם ענו עתה מדוע זו הונאה?
4. נסו לכסות בדיוק לוח שחמט במספר הגדול ביותר האפשרי של צורות (מלבנים וריבועים). ציירו את פתרונכם וציינו בכמה צורות השתמשתם.
א. האם ייתכן פתרון שבו יהיה מספר אי-זוגי של צורות בעלות מספר משבצות אי-זוגי? נמקו.
ב. האם ייתכן שבכיסוי שכזה מספר הצלעות האי-זוגיות החיצוניות, כלומר אלה המתוות את גבולות לוח השחמט מסביב, יהיה אי-זוגי? (צלע אי-זוגית הינה צלע מלבן שאורכה מספר אי-זוגי של משבצות).
ג. כאשר מכסים צורה מסוימת בצורות קטנות יותר אנו רואים קווים ישרים ושבורים באורך כללי מסוים. לדוגמה: אם נכסה צורה אחת בת שני ריבועים בשני ריבועי יחידה, נקבל 
– צורה שאורך כל הקווים בה הוא שבע יחידות.
בידקו מהו האורך הכולל של הקווים בפתרון הכיסוי שלכם. שימו לב: כאשר לשתי צורות יש קטע משותף, די לחשב אותו פעם אחת!
ד. מהו האורך של כל היקפי הצורות שבהן השתמשתם לכיסוי?
ה. שאלת בונוס: נסו לתת נוסחה כללית לאורך הקווים במלבן המורכב ממלבנים קטנים, שממדיו הם n*m וסכום היקפי הצורות המרכיבות אותו הוא k.
5. ועתה נפנה לבעיה המרכזית: האם אפשר להציב 13 פרשים על לוח שחמט בלי שפרש יאיים על פרש ובלי שלפחות שני פרשים יאיימו על אחת המשבצות.
שימו לב שוב לכלל חשוב ביותר: כדי להוכיח שאפשר די להראות דוגמה אחת שבה הדבר אפשרי. כדי להוכיח שאי אפשר אין להסתפק בדוגמאות שבהן נכשלנו, אלא יש להראות כי כל סדור אפשרי של 13 הפרשים אינו מקיים את הכללים!
ועתה לשאלות. רצוי להיעזר בלוח שחמט או בשרטוט של לוח שחמט.
א. 13 הפרשים שעלינו להציב יעמדו בחלקם על משבצות שחורות וחלקם על משבצות לבנות.
מאחר שמספרם אינו זוגי, קבוצה אחת תהיה גדולה יותר – נניח שזו קבוצת הפרשים על המשבצות השחורות. כידוע, הפרשים האלה מאיימים אך ורק על משבצות לבנות.
המספר הקטן ביותר האפשרי של פרשים שחורים הוא לכן 7. נבדוק את המקרה שבו מספר הפרשים הלבנים הוא 6. כמה משבצות לבנות נותרו לאיום של הפרשים השחורים? (זכרו: אסור לאיים על פרשים לבנים).
ב. אם כך, מהו הממוצע המרבי של המשבצות שפרש שחור יכול לאיים עליהן?
ג. מיינו את המשבצות השחורות לפי מספר האיומים שלהן על משבצות לבנות. בהתאם לכך נסו לשבץ תחילה שני סוסים במקומות בעלי מספר המשבצות המאוים הקטן ביותר, ואחר כך הוסיפו 2 במספר המשבצות המאוימות הקטן ביותר שנותר, ושניים נוספים בתנאי דומה. כך תשבצו שישה סוסים שחורים, כשאתם מקפידים שאף משבצת לא תהיה נתונה לאיום כפול. ציירו את הלוח ואת מיקומיהם של ששת הפרשים.
ד. כמה משבצות לבנות מאוימות עתה וכמה נותרו בלתי מאוימות פרט לאלה שבהן יוצבו הסוסים הלבנים?
ה. תיווכחו לדעת כי אף על פי שהמספר שנותר שווה למספר המרבי של משבצות באיום של פרש, אי אפשר להציב פרש בלי שייווצר איום כפול על משבצת לבנה.
ו. האם יכול להיות פתרון כאשר מספר הסוסים השחורים גדול משש? השתמשו בעקרון שובך היונים. זכרו: כשמוסיפים סוס בריבוע הפנימי (השורות והטורים מספר 6-3) הוא מאיים על שמונה משבצות.
אמנון זקוב
