על צבע ושבע

"מדוע הוזמנתי לכאן?" שאל מתי מתוק.

האוצר הראשי של מוזיאון ישראל הביט בו מבעד למשקפיו ואמר, "כנראה זה היה מיותר, אבל מה שבטוח בטוח".

"מה לא בטוח?" שאל מתי.

"היום הוא יום גדול לאמנות בישראל. מממלכת קומאר העתיקה מגיע חלק מאוסף האמנות המיוחדת של הממלכה הזו, לתערוכה במוזיאון שלנו".

"האם אני מוזמן כחובב אמנות או כמתמטיקאי?" תהה מתי

"אתה מוזמן כחובב אמנות, אבל על כל צרה שלא תבוא גם כמתמטיקאי".

"אינני מבין", השיב מתי בכנות.

"ובכן, מסתבר שגם ד"ר לא הינו חובב אמנות, והוא הודיע שהוא ישים את ידו על האוסף – כיוון שההיגיון והצדק מחייבים זאת!"

"היגיון וצדק?" תמה מתי. "מה לד"ר לא ולשני הערכים האלה?"

"יש בדבריו איזה היגיון מעוות", ענה האוצר. "המלך סאבאננדרה הראשון שיצר את האוסף היה מתמטיקאי, והאוסף נבנה לפי עקרון מתמטי וכולל צורות הנדסיות העשויות מעץ הקומאר היפהפה, צבועות מצדן האחד בצבעים משבעת צבעי הקשת, ולכן האוסף קרוי 'קשת קומאר' – או! הנה, ראה בטלוויזיה!"

ובטלויזיה נראה ידידו, פקד אלברט כהן, מפקח על הורדת ארגז גדול ממטוס והעמסתו על משאית סגורה, שלקול יללת צופרים של הליווי המשטרתי החלה במסעה אל המוזיאון. "כפי שאתה רואה מתי, האוסף מובטח לחלוטין, אך מאחר שד"ר לא הינו ערמומי שבערמומיים, הוא עלול לשלוף בחשאי תכסיס מתכסיסיו, כך שחשבתי שמוטב שגם אתה תהיה נוכח".

"האם תוכל לתאר לי מהו אוסף קומאר הזה?" שאל מתי.

"לפני אלף שנים", סיפר האוצר, "בנה סובאננדרה עיר בירה חדשה בלב הג'ונגל והקדיש אחד מארמונותיו לתחביבו כמתמטיקאי וכאומן. מכפיסים של עץ הקומאר הוא יצר רבבות של צורות גיאומטריות, חלקן מישוריות וחלקן מרחביות, וצבע אותן בצבעי הקשת".

"איך זה שייך למתמטיקה?" תמה מתי.

"השיטה שבה צבע אותם", הסביר האוצר. "כל צורה נצבעה בכל האפשרויות שבהן אפשר להשתמש בכל צבעי הקשת, כאשר כל כפיס צבוע בצבע אחד. אם הצורה היתה כפיס אחד פשוט, למשל, היו באוסף שבעה כפיסים, כל אחד בצבע קשת שונה.

                                           

אם הצורה  היתה צלב, היו באוסף כל הצלבים האפשריים הצבועים בשני צבעים.

      

 

 

לו היו לו רק שני צבעים, היתה לו רק אפשרות אחת, אבל..."

"סליחה", אומר מתי, "אבל גם כאן יש שתי אפשרויות באופן שהוא בנה את האוסף: אדום על ירוק שונה מירוק על אדום, מאחר שרק צד אחד של הכפיסים צבוע".

"אתה צודק", השתכנע האוצר. "בכל אופן, יש שם משולשים שווי זווית, ריבועים, מחומשים, משושים וכן הלאה, שווי צלעות, פירמידות משולשות, קוביות ועוד מבנים לאין-ספור. סאבאננדרה השלושים ושבעה, המלך הנוכחי, שולח לנו כמה מאות דוגמאות כדי שנטעם  ולו מעט מיופי האוסף הזה".

ואכן, ברגע זה נכנסה המשאית ופקד כהן והנהג פרקו בעזרת סבלים ארגז גדול והסבלים הכניסוהו לאולם התצוגה. גם הארגז היה מרהיב, שכן סמל קומאר – בדמות טווס –, היה צבוע בשבעת צבעי הקשת, ובצדו האחר נכתב, "תערוכה נודדת מ'קשת קומאר'. מדגם של לרמה 2: 349; לרמה 3 ולרמה 4: 421 פריטים".

להוראת האוצר פתחו אנשי המוזיאון את הארגז ושלל צבעים סנוורו את עיני כולם: אנשי המוזיאון החלו בספירה כדי לוודא שכל הפריטים הגיעו.

"האם הפריטים נבחרו באופן מקרי מתוך הרבבות?" שאל מתי.

"לא", חייך האוצר. "אחרת לא היה לתצוגה ערך מתמטי אלא רק אמנותי. המלך שלח לנו מספר מסוים של דגמים, אך כל דגם מופיע בכל הרכב צבעים אפשרי מתוך שבעת צבעי הקשת ובכל סידור אפשרי של אותו הרכב צבעים. כבר נתת דוגמה לכך כשאמרת שאדום על ירוק אינו זהה לירוק על אדום".

שינוי פתאומי חל בפני מתי. הוא החוויר ומיד  אמר בקול החלטי, "פקד כהן – האוסף נגנב, הגנב הוא הנהג והנהג הוא ד"ר לא. התחל במרדף אחריו".

"אבל...למה?" שאל הפקד הנדהם.

"הספירה מדויקת... זה מספר הפריטים הכתוב על הארגז", הוסיף האוצר.

"הסברים אחר כך. עכשיו – מרדף". הפקד ציית והורה ברשת הקשר לכל הניידות מה עליהן לעשות. בינתיים הוזמן מומחה המוזיאון לעץ וצבע לבדוק את הפריטים. פסק הדין היה ברור: אלה אינם עצי קומאר ואלה אינם צבעי קומאר.

המרדף אחר המשאית הסתיים בצורה אופיינית למרדפים אחרי ד"ר לא. היא נמצאה נטושה בין פרדסים, בלי שנמצא כל זכר לד"ר לא. כנראה ירד למחתרת באחת המנהרות התת-קרקעיות שלו. על המשאית נמצא הארגז המקורי שהובא למוזיאון, ומשנפתח נמצאו בו הדגמים הצבעוניים ומכתב שמפרט אלו דגמים נשלחו לתערוכה:

א. כל מגוון הצבעים וסידורי צבעים זהים של כפיס יחיד.

ב. כל מגוון הצבעים וסידורי צבעים זהים של צלב שבו כפיס מוצב על גבי השני, בצבע אחד ובשני צבעים.

ג.  כל מגוון הצבעים וסידורי צבעים זהים של משולש שוה צלעות שכל צבעי צלעותיו שונים זה מזה.

ד.  כל מגוון הצבעים וכל סידורי הצבעים הזהים של ריבוע שכל צלעותיו שונות זו מזו.

ה.  כל מגוון הצבעים ועל סידורי הצבעים הזהים של טטראדר (פירמידה משולשת שוות פאות). כל פאה צבועה בצבע שונה מכל פאה הגובלת עמה.

ו. כל מגוון הצבעים וכל סידורי הצבעים הזהים של קוביעה הצבועה במספר הצבעים הקטן ביותר האפשרי, כך ששום פאה אינה גובלת בפאה אחרת באותו צבע. ואכן בבדיקה מדוקדקת נמצא שכל האפשרויות הצבעוניות והסידוריות אכן קיימות באוסף.

"איך ידעת שהאוסף הראשון מזויף?" תמהו הכול. "אתה מומחה לתרבות קומאר?"

"לא", השיב מתי בענווה. "זה היה שיקול מתמטי וההסבר הוא זה – "  

במקום לצותת להסבריו של מתי נעביר את האתגר אליכם על ידי השאלות הבאות:

שאלות

1. מה אמר האוצר שהדליק למתי את הנורה האדומה? אם אינכם יודעים לענות על השאלה מיד, עברו לשאלות הבאות ובסיום חזרו לשאלה זו אחרי שתקבלו רמז.

2. כמה פריטים יש בדגם של כפיס יחיד?

3. כמה פריטים יש בדגם של צלב בצבע אחד? ובשני צבעים?

4. כמה פריטים יש בדגם של משולש שכל צלע שלו היא בצבע שונה? (שימו לב: האם יש רק סידור של שלושה צבעים מסוימים? זכרו: פריט יהיה זהה לפריט אחר אם ורק אם כל צבעיו וסידורם זהים! ההערה הזו נכונה לכל השאלות הבאות. הצבעים צריכים להופיע באותו סדר במישור או במרחב כדי שהפריטים יהיו זהים.

5. א. כמה פריטים יש בדגם של ריבוע?

(זכרו: מאחר שהכפיסים צבועים רק מצד אחד, אי אפשר להפוך את הריבוע לצד השני ויש להניח אותו אך ורק כך שכל הצבעים למעלה).

וכמה סידורים שונים יש עבור אותם ארבעה צבעים.

5. ב. כמה פריטים יש בדגם של טטראדר (פירמידה משולשת שוות צלעות) ששום פאה אינה גובלת עם פאה באותו צבע?

5. ג. כמה פריטים יש בדגם של הקובייה הצבועה במספר הצבעים הקטן ביותר האפשרי, כך ששום פאה לא תגבול בפאה הצבועה בצבע זהה?

6. מהו סך כל הפרטים שהיו במשלוח?

ועתה חזרו לשאלה א', אם לא פתרתם אותה קודם. תגלו אמנם שלפי ו' המספרים אינם תואמים את מה שהיה כתוב על הארגז המזויף, אבל זו אינה תשובה לשאלה, איך יכול מתי לדעת, בלי לפתוח את הארגז האמיתי ובלי לדעת מה יש בתוכו, שמשהו לא בסדר?

רמז קטן: חפשו בשאלון הערה בקשר לערכים במשולש פסקל בשורות שמספרן ראשוני.

אמנון זקוב

---

פתרונות

2. בדגם של כפיס יחיד ישנם שבעה פריטים בדיוק – כל אחד בצבע אחר משבעת צבעי הקשת.

3. בדגם של צלב ישנם שבעה פריטים כאשר שני הכפיסים צבועים בצבע זהה, כלומר     הרכבים שונים של שני צבעים, אולם כיון שצלב ירוק על אדום שונה מאדום על ירוק, יהיו לנו שני סידורים לכל הרכב, 42=2*21, והמספר הכולל של הצלבים הוא 49.

4. במשולש יש לנו       הרכבים שונים של שלושה צבעים. אולם כל הרכב אפשר לסדר בשתי דרכים שונות.

לדוגמה:

 

איננו יכולים לסובב אחד מהם ולהגיע לסידור של השני ואסור לנו להפוך, ולכן סך המשולשים הוא 70=2*35.

5 א. ישנם     הרכבים של ארבעה צבעים, אולם מספר הסידורים השונים לכל  הרכב של ארבעה צבעים הוא שישה:

 

 

יש דרך הגיונית וקצרה לחשב את הסידורים האפשריים לכל הרכב: אם נקבע כי בהרכב לעיל האדום יהיה תמיד למטה (כיוון שתמיד אפשר לסובב את הריבוע כך שיעמוד על הצלע האדומה) נוכל לסדר את שלושת הצבעים הנותרים בכל סדר אפשרי. הסדרים האלה נקראים "תמורות", והנוסחה לחישוב תמורות של n עצמים היא !n, כלומר: מכפלת כל המספרים הטבעיים עד n. במקרה שלפנינו, כאשר 3=n נקבל 6=1*2*3=!3=!n.

באותו אופן, מספר התמורות לאותם חמישה צבעים לו היינו עוסקים במחומש משוכלל היה 24=1*2*3*4=!4.

לכן, סך כל הפריטים הריבועיים הוא 210=6*35.

5 ב. מאחר שכל הפאות גובלות זו בזו, יש לצבוע את הטטראדר בארבעה צבעים. ויש לנו         רביעיות שונות של צבעים. בכמה סידורים שונים אפשר לצבוע באותה רביעיית צבעים? כדי לברר אם שתי צביעות באותם צבעים יוצרות את אותו סידור דומה לשיטה שבה קובעים את האדום בתחתית ועל פיו קובעים את שאר הסידור. אולם בגוף מרחבי העניין קצת יותר מורכב. נניח שיש לנו אדום, צהוב, סגול, ירוק. נקבע את האדום למטה ואת הצהוב כשהוא מופנה אלינו: קיימים שני סידורים: או שהסגול נמצא מימין או שהסגול משמאל, ולכן יש שני סידורים בדיוק, כלומר 70=2-35 טטראדרום.

5 ג. בקובייה, כל פאה גובלת בכל הפאות פרט לפאה הנגדית לה. יש לנו שלושה זוגות של פאות נגדיות, ולכן מספר הצבעים הקטן ביותר האפשרי הוא שלושה. אם נשים את הפאות האדומות למטה ולמעלה ואת הצהובות מולנו ומאחור, הסגולות יהיו משני צדי הצהובות ולכן לכל הרכב יש סידור אחד בלבד. ומכאן – יש 35 קוביות.

6. 441=7+49+70+210+70+35.

1. את השאלה הראשונה שמרנו לסוף. המשפט שהדליק נורה אדומה בראשו של מתי היה, "כל דגם מופיע בכל הרכב צבעים אפשרי... ובכל סידור אפשרי". כמתמטיקאי מתי יודע שמספר ההרכבים של הצבעים אמנם תלוי במספר הצבעים של הדגם המסוים אך מאחר שיש לנו שבעה צבעים ו-7 הוא מספר ראשוני, מספר ההרכבים יתחלק תמיד ב-7. מספר הפריטים הוא מספר ההרכבים כפול מספר הסידורים השונים לכל הרכב, ולכן המכפלה הזו – כלומר מספר הפריטים הכולל, שהוא סכום של מספרים המתחלקים ב-7 – צריכה גם היא להתחלק ב-7. וכך כשד"ר לא כותב שסך כל הפריטים הוא 421, כשידוע ש-420 מתחלק ב-7, ברור שזה רמז עבה שמספר הפריטים בארגז אינו מתחלק ב-7.

לכן, ברגע שנודע למתי איך בנוי האוסף, הוא ידע שהמספר שעל הארגז אינו אפשרי. עוד לפני המשפט הזה הוא כבר ידע שמספר הפריטים באוסף המקורי המצוי בקומאר חייב להתחלק ב-7, אבל עד ששמע את ההמשך הוא היה יכול להניח שממספר הזה אפשר לשלוח לתצוגה מבחר מקרי של פריטים בכל מספר שהוא. רק כשהתברר למתי שגם המבחר הזה מקיים את התנאי שבכל דגם מצויים כל הפריטים האפשריים, הוא הבין כי גם מספר הפריטים במבחר חייב להתחלק ב-7.