הוותיקים כבר מכירים את גיבורינו. לחדשים נספר כי זה עשרים שנה עוסקים המתמטיקאי מתי מתוק ופקד אלברט כהן במאבק נגד הפושע המתמטי ד"ר לא. אין גבול לפשעיו, אך לזכותו ייאמר שהוא משאיר רמזים המאפשרים את פתרון התעלומה. אם יש בכם יצר בלשות מתמטית, זו ההזדמנות שלכם להצטרף לאלפי בני הנוער שהשתתפו משך השנים במרדף האינסופי אחרי ד"ר לא. בזכותם מדינתנו עדיין עומדת על תִלה!
"עשרה מיליון!" הכריז נציג משרד הבטחון.
"לא בא בחשבון! אין כסף! שני מיליון בלבד!" הכריז נציג האוצר.
"ארבעה מיליון וזהו! למשטרה אין תקציב", הכריז פקד כהן, נציג המשטרה.
"קמצנים!" רתח נציג משרד הביטחון. "בזבזנים!" ענה לו האוצר. המריבה הפכה קולנית ויו"ר ישיבת הוועד למלחמה בד"ר לא נאלץ להקיש בפטישו. "רבותיי, רבותיי, הנושא רציני מכדי שנדון בו בצעקות. לפנינו השאלה "מהו הסכום האחיד שנקבע לתרומת כל אחד משלושת המוסדות למימון מלחמת הקיום של ישראל מול ד"ר לא. מאחר ששלושתכם אינכם מסוגלים להתפשר, אני מציע לעשות זאת בהדרגה. ראשית יתפשרו ביניהם נציגי האוצר והמשטרה, ולאחר מכן יתפשרו הם בין פשרתם לבין נציג משרד הביטחון".
האוצר דיבר קצרות ולעניין, "פקד כהן, כל פשרה היא באמצע. אתה אומר 4, אני אומר 2 – גמרנו על 3?"
פקד כהן הנהן בהסכמה ופנה לנציג משרד הביטחון, "אנחנו מציעים 3 ואתה 10 – הבה נתפשר!"
נציג משרד הביטחון חישב במהירות ואמר, "6.5. זה מעט מדי"
"זה יותר מדי!" נזעק נגדו נציג משרד האוצר. "קודם תתפשר עם המשטרה ואחר כך איתי".
ואכן כך נעשה, ועם הפשרה של 7 ניגשו אל נציג האוצר בתוצאה 4.5, שגרמה למחאות הן מצד משרד הביטחון והן מצד האוצר.
הניסיון השלישי לפשרה, ראשית בין משרדי האוצר והביטחון הביא לתוצאה 6, ואחרי פשרה נוספת עם המשטרה ל-5 – בלי שאף נציג היה מרוצה.
היו"ר הנבוך העלה רעיון מבריק, "למרות חילוקי הדעות, הפשרה קירבה בין ההצעות. במקום 10, 4, ו-2 קיבלנו, 6.5, 5, ו-4.5. אני מציע שתמשיכו להתפשר כך: משרד האוצר "הקמצן", יציע 4.5, המשטרה "המתונה" 5 ומשרד הביטחון "הבזבזן" – 6.5, עד שתגיעו כולכם, בתהליך הזה, לסכום אחד".
"אינסוף דקות" השיב מתי ליו"ר הנדהם, והסביר מדוע.
פקד כהן נותר מוטרד. "מה שאני לא מבין זה, הרי אנו מתפשרים באופן הגיוני, חצי חצי. איך ייתכן שאנו מקבלים שלוש תשובות הגיוניות אך שונות? איזה מהן הנכונה?"
מתי חייך, "אף אחת מהן. בכולן יש טעות הגיונית. כאשר שניים מתפשרים "באמצע" והולכים להתפשר עם השלישי, יש להביא בחשבון כי בפשרה הראשונה תומכים שניים מול האחד שנותר, ולכן "משקלם" כפול לעומת השלישי ויש להתפשר לא באמצע אלא במרחק של שליש משניהם ושני שליש מהשלישי. אם הייתם נוהגים כך הייתם מגלים שכל שלוש הפשרות הן זהות.
ואכן, משחישבו זאת הנוכחים הם השתכנעו, ומתי הוסיף, "בשיטה זו, כשבכל פעם שני צדדים מתפשרים ואחר כך מתפשרים במשקל כפול עם השלישי ובמשקל משולש עם הרביעי וכן הלאה, נגיע תמיד לפשרה אחת, ולא משנה מה יהיה סדר האנשים שנבחר – אבל זוהי דרך ארוכה ומיותרת, כי התוצאה הסופית תהיה תמיד: סכום כל הסכומים שמציעים האנשים, מחולק במספר האנשים.
למשל, נניח ששישה אנשים מציעים 1, 2, 3, 4, 5, 6. הסכום הוא 21, ובחילוק למספר האנשים – 3.5. לתוצאה הזו אנו קוראים הממוצע".
"כמובן", אמר הפקד. "איך לא שמנו לב?"
"ועתה", אמר היו"ר, "נחזור לסעיף העיקרי. במשך שנה שלמה טרחו עשרות אנשים ממשרדים שונים על תכנון אסטרטגי נגד ד"ר לא. כל אדם עבד בסודיות גמורה וכך ועדה חסויה עליונה קיבצה את כל התוצאות במסמך סודי ביותר והעלתה אותו על תקליטור יחיד, ומטעמי ביטחון השמידה את כל המסמכים החלקיים. כדי שהסודיות תהיה מקסימלית נבנה מכשיר מיוחד שרק בעזרתו ניתן לקרוא את התקליטור. והריהו לפניכם – כולל התקליטור". כל הנוכחים נעצו עיניים במכשיר יוצא הדופן. "שם המסמך הוא 'מרכז הכובד למלחמה בד"ר לא'. וגדולתו היא בכך שלראשונה הוא דן בעיקר – במקום לדון בכל פשע בפני עצמו, הוא מביא בפנינו את התמונה כולה כמקשה אחת ומציג אסטרטגיה שעונה לכל פשע אפשרי. ועתה, הרשוני להפעיל את המכשיר".
ובעודו מושיט את ידו, שאחזה במין אביזר מוזר, נשמע פיצוץ, השתררה חשכה, נשמעו צעקות, ומשנדלק האור – נעלם המכשיר ובו התקליטור.
פקד כהן, חיוור כסיד, לחש, "מה יהיה? עכשיו כל תוכניתנו נמצאת בידי הד"ר".
היו"ר, המום לחלוטין, התעשת, "לא ממש... שכחתי לציין כי הדרך היחידה להפעיל את המכשיר היא בעזרת האביזר הזה" – והוא הראה אותו לנוכחים. "המצב הוא שד"ר לא לא יוכל לפענח את המסמך בלעדיו. הצרה היא שאנחנו איבדנו אותו, ועבודת צוות של שנים הלכה לאיבוד. מצב של תיקו".
"ד"ר לא לא סובל מצבים של תיקו". העיר מתי. "בקרוב הוא יגיש לנו הצעה".
ואכן, כבר למחרת הגיע המכתב הבא, "אהוביי, במצב הנוכחי מרכז הכובד אינו אצלי ואינו אצלכם. הבה נכריז על "תחרות מרכז הכובד". המנצח יזכה בכל.
השלב הראשון בתחרות: לפניכם מפה ובה שלוש נקודות: במכון ויצמן, באוניברסיטת תל אביב ובאוניברסיטה העברית. במרכז הכובד שלהן תמצאו את המכשיר ואת התקליטור"
"מה פירוש "מרכז הכובד של נקודות?" תמה פקד כהן.
"זהו מעין ממוצע בין הנקודות", השיב מתי.
"איך ממוצע?" תמה הפקד. "הרי אין כאן מספרים!".
מתי חייך. "ישנה דרך ליחס לנקודות מספרים, אך המקרה של משולש הוא פשוט. נעשה 'פשרה בזוגות', כשאנו מייחסים אותו משקל לכל נקודה.
ראשית "נתפשר" בין תל אביב למכון ויצמן בחצי הדרך. נקבל נקודה אי שם בראשון לציון. הפעם לא נחזור על הטעות. נייחס לה משקל כפול ונפשר בינה לבין ירושלים: שליש המרחק מראשון לציון ושני שליש מירושלים".
"רגע, רגע", אמר הפקד. "ולו היינו מתפשרים קודם בחצי הדרך בין תל אביב לירושלים אי שם ליד שער הגיא, ואז מתפשריםת בשליש הדרך למכון ויצמן, אולי היינו מקבלים נקודה אחרת!"
"טענה יוצאת מן הכלל!" שיבח אותו מתי, "אלא שיש לנו מזל גדול. הישרים בין קודקודים לאמצע הצלע ממול במשולש קרויים 'תיכוניים', וקיים משפט יסודי בגיאומטריה שאומר ששלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, שמחלקת כל תיכון לשני שליש ושליש! ולכן אין זה משנה מיהן שתי הנקודות הראשונות שנבחר – תמיד נסיים בנקודת המפגש של התיכונים, והיא מרכז הכובד של המשולש".
ואכן, כששרטטו על המפה את שלושת התיכונים נוכחו כולם שהם נפגשים בנקודה אחת, מערה בסביבות רמלה - שאליה הגיעו במהירות ואכן מצאו שם את המכשיר ובו התקליטור. אולם אלה היו מחוברים למתקן מוזר שאליו הוצמדה פיסת נייר שבה נכתב:
"ידידיי, ברוכים תהיו בשלב השני והמכריע של התחרות. כפי שעיניכם רואות, שמתי על המכשיר לוח המתואר להלן. כל שעליכם לעשות הוא להרים את הלוח ולקחת את המכשיר ובו התקליטור. יש רק בעיה קטנה: הרמה לא נכונה של הלוח תפעיל פצצה המחוברת לתחתיתו והמכשיר יתרסק, ואגב – גם אתם. אך בגלל טוב לבי ומידת הכנסת האורחים הידועה שלי אגלה לכם סוד: המתקן שלי מורכב משני חלקים:
א) הלוח, ועליו לולאות אחיזה רבות בנקודות שונות, וכן הפצצה.
ב) בלוח מסומן ריבוע נקודות ובנקודות שונות מחוברים משקלות שונות המסומנות בגרמים. תכננתי אותו כך שמרכז הכובד של א' זהה למרכז הכובד של ב' ומצויה שם לולאת הרמה. עליכם להרים את הלוח בהחזיקכם בלולאה זו. בהצלחה בפיצוץ, הי הי, הד"ר הבלתי מנוצח".
כל העיניים הופנו אל מתי להסבר. "מרכז הכובד של גוף כלשהו הוא נקודה שמתנהגת כאילו כל משקל הגוף טמון בה, ולכן, למשל, אנו יכולים לאזן קורה על ידי תמיכה במרכז הכובד, ואיננו נופלים כשמרכז הכובד של גופנו נמצא מעל רגלינו – אך אם ניטה הצדה, ניפול. נוכל לאזן משולש העשוי מחומר אחיד על ידי תמיכה במרכז הכובד שלו – מפגש התיכונים.
מרכז הכובד הוא מעין "פשרה", או "ממוצע", של כל החלקים המרכיבים אותו, ולא קל לחשב אותו לגבי גוף מקרי. אבל ישנם מקרים פשוטים יחסית, למשל אם שני חפצים, אחד במשקל שני קילו והשני במשקל של שלושה קילוגרם, נמצאים במרחק של חמישה מטרים זה מזה, מרכז הכובד יהיה במרחק של שני מטרים מהגוף הכבד ושלושה מטרים מהגוף הקל.
עלינו לחשב את מרכז הכובד של המשקלות בלבד, כי למזלנו הוא מתלכד עם מרכז הכובד של הלוח והפצצה. כיצד מחשבים את מיקומו? אפשר כמובן לחשב בהדרגה, קודם זוג ואחר להוסיף בהדרגה משקולת, אך זה תהליך ממושך ולכן אנו משתמשים בנוסחה שמתאימה ללוח המישורי שלפנינו.
לכל נקודה בלוח מתאימים את השורה והטור שלה. למשל המשקולת 6 נמצאת בטור 2 ובשורה 3 וסך המשקולות בטור 2 הוא 11=2+6+3. כך אנו מסכמים את סך המשקולות בכל טור וכופלים אותו במספר הטור. סכום המכפלות מחולק במשקל הכללי של המשקולות הוא מספר הטור של נקודת מרכז הכובד. באופן דומה עושים זאת עם השורות. מחשבים בדומה את ערך השורה של מרכז הכובד, וכך אנו יודעים היכן מרכז הכובד, בעזרת הטור והשורה".
"לא הבנתי", הודה הפקד. "אולי תיתן דוגמה?"
"בבקשה", הסכים מתי וצייר לוח נקודות בגודל של 3*3.
"בטור 1, סכום המשקלות הוא 7.
בטור 2, סכום המשקלות הוא 10.
בטור 3, סכום המשקלות הוא 9.
סכום המשקלות הכללי הוא 26.
לכן מרכז הכובד יהיה בטור 
ועתה חשבו בצורה דומה, היכן נמצא מרכז הכובד בלוח של ד"ר לא?"
הנוכחים חישבו, מצאו את לולאת האחיזה המתאימה ושחררו את המכשיר והתקליטור היקרים מפז, למגינת לבו של ד"ר לא. האם גם אתם הייתם מסוגלים לכך? בוודאי, בתנאי שתענו על השאלות הבאות:
שאלות
1. מדוע לעולם לא יגיעו לפשרה מוסכמת ואחידה בשיטה הזו? (רמז: אם יש שלוש הצעות שונות a<b<c, מה יקרה בשלב הבא?)
2. חשבו הפעם את שלוש הפשרות, כשאתם מביאים בחשבון את "המשקל" של הצדדים, וכתבו את התוצאות.
3. א. חשבו ישירות את ממוצע שלוש ההצעות.
ב. ממוצע של מספרים טבעיים יכול להיות שלם או שבר. לדוגמה, הממוצע של 3, 4 ו-5 הוא 4, אך הממוצע של 3, 4, 5 ו-6 הוא 4.5. התוכלו למצוא כלל שקובע מתי ממוצע של קבוצה של מספרים טבעיים יהיה תמיד לא שלם?
4. אם הממוצע של שני מספרים ראשוניים אינו שלם, התוכלו למצוא את אחד המספרים?
5. חשבו את מיקום מרכז הכובד של הלוח.
6. המסה של כדור הארץ גדולה פי 81 ממסת הירח והמרחק ביניהם 384 אלף ק"מ. באיזה מרחק מאיתנו מצוי מרכז הכובד?
תשובות
1. כי גם בפעם הבאה נקבל שלוש תשובות שונות:
המספר הקטן יהיה 
המספר האמצעי יהיה 
המספר הגדול יהיה
אנו רואים כי בכל שלוש המשוואות מופיעים שני "רבעים" ו"חצי" אחד, וככל שהחצי הוא של מספר יותר גדול – כך הסכום גדול יותר. לכן שלישייה לא זהה תיצור בשלב הבא עוד שלישייה לא זהה וכך הלאה עד אינסוף. ככל שנצרף את המספרים הגדולים בשלבים מאוחרים – כך תגדל התוצאה.
2. 
3 א'. 
ב'. כשיש מספר אי-זוגי של מספרים זוגיים ומספר אי-זוגי של מספרים אי-זוגיים, הסכום הוא אי-זוגי ומספר המשתתפים זוגי. מספר אי-זוגי שמחולק לזוגי תמיד יהיה שבר.
4. הדבר ייתכן רק אם אחד המספרים הוא 2 והשני אי-זוגי.
5. הערך האופקי של מרכז הכובד:
הערך האנכי של מרכז הכובד:
התוצאה הזהה בין שני הערכים היא מקרית.
6. המרחק מכדור הארץ הוא 384,000/82 ק"מ, השווה בערך ל-4,685 ק"מ.
אמנון זקוב
