קצר ומתחלק

הוועדה הלאומית למאבק בד"ר לא התכנסה לדיון החודשי במצב המאבק. שר החינוך והתרבות, ששימש כיושב הראש התורן, פתח ואמר, "רבותיי! ישנן שלוש סיבות למלחמתנו בד"ר לא:
א) הד"ר הוא טיפוס מאוד לא חינוכי.
ב) הוא דוגל בתרבות של פשע, גניבה והכפשת שם המדע.
ג) המאבק הלאומי בו, ובמיוחד השתתפות הנוער ממכון דוידסון לחינוך מדעי, מחדד את מוחנו ומעלה את הציון הממוצע בבחינות הבגרות במתמטיקה.
פנינו למומחים בכל השטחים וביקשנו שיעלו הצעות לחיסולו של האיש הנורא ביותר שהשתמש אי פעם במתמטיקה לצרכים נפשעים. לוועדה הוגשו שמונה הצעות והיום נדון בהן ונבחר בהצעה שתאפשר את הדרך הקצרה ביותר לחיסולו.
הצעה מס' 1, מטעם משטרת ישראל: לבצע עוצר כללי במדינה ולחפש את ד"ר לא מבית לבית.
הצעה מס' 2, מטעם התאחדות הכלבנים: לקחת את אחד החפצים שד"ר לא נגע בהם, לתת לכלב מובחר להריח, וללכת בעקבות הכלב.
הצעה מס' 3, מטעם אגודת הקוסמים..."

אף שהקהל היה סקרן מאוד לדעת מה הקוסמים מציעים, תשומת הלב של כולם הופנתה להתרחשות מוזרה ביותר: חלונות החדר נסגרו כמו מעצמם ותריסי מתכת ננעלו מאחוריהם. דלת הכניסה נטרקה, כשאליה מחובר מתקן ובו תשעה לחצנים ממוספרים מ-1 ועד 9.

הקהל הנדהם רץ אל החלונות והדלת כדי לנסות לפתוח אותם ולהימלט, אך קולו של הדוקטור נשמע, נוטף ידידות:

"רבותיי, רבותיי, אל תעליבו אותי. אני אדם רגיש, ואם החלטתי לכלוא אתכם האמינו לי – לא יועיל פה כוח. אולי מוח".

"הוא צודק," נאנח פקד כהן. "דבר אחד ייאמר לזכותו: כשהוא מבצע פשע, הוא מאוד מקצועי".

"תודה," נשמע הדוקטור. "ועתה לענייננו – גם לי יש שלוש סיבות לחסל אתכם:
א) אתם חינוכיים.
ב) אתם תרבותיים.
ג) חידוד מוחותיכם מסכן אותי.
כך שגם אני מחפש שמונה דרכים קצרות ביותר לחסל אתכם.
אני מציע את הפשרה הבאה: אציב בפניכם בעיה הקשורה למספרים 3 ו-8, ול'קצר ביותר'. עליכם למצוא את שמונת המספרים הקטנים ביותר, ולכן גם קצרים ביותר, לפי ההוראות הבאות:
כל אחד מהמספרים יהיה מורכב משילוב של הספרה 3 עם ספרה אחרת מבין הספרות הנותרות – 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 ו-9, כך שכל מספר כזה יתחלק ב-3 ובספרה הנוספת. בכל מספר, כל אחת משתי הספרות – 3 והספרה הנוספת – יכולה לחזור כמה פעמים.
כשתסיימו, הקישו את פתרונותיכם לפי סדר הספרות: ראשית את הפתרון ל-3,1, אח"כ ל-3,2 וכו'. המספר האחרון שתקישו יהיה הפתרון ל-3,9. אם תקישו נכון, הדלת תיפתח. אם תטעו, "בום-טראח". הי הי הי".

ובצחוקו הידוע נסתיים נאומו והותיר את הקהל נדהם – פרט למתי, שניגש מיד לעבודה. "יש שאלות?" חקר.

"כן," ענה פקד כהן. "אולי לחלק מהזוגות אין פתרון?"

"בהחלט יכול לקרות שלזוג ספרות לא יהיה פתרון. דוגמה פשוטה: אם אחת הספרות היא אפס. אין מספר שמתחלק באפס, אבל יש דוגמאות משכנעות לספרות רגילות: מהן הספרות שיחד עם הספרה 5 יוצרות זוגות ללא פתרון?"

אחרי מחשבה קצרה צוינו כל הספרות הללו ומתי המשיך, "כולנו מכירים את הכלל שקובע מתי מספר מתחלק ב-3. גם הכללים לגבי 2, 5 ו-9 פשוטים ולכן גם הכלל לגבי התחלקות ב-6. לגבי 4 ו-8 הכללים לא מאוד מסובכים, ורק 7 הוא מקרה לא פשוט".

ואכן תוך זמן קצר נמצאו הפתרונות לכל זוגות הספרות פרט לזוג 3,7. כל העיניים ננעצו במתי.

"במקרה של 3,7 עלינו לנקוט בשיטה אחרת כדי להגיע לפתרון. אם ישנו פתרון הוא חייב להתחלק גם ב-3 וגם ב-7, כלומר ב-21. אנו יכולים לרשום את כפולות 21, שהן 21, 42, 63 וכן הלאה, וכך נמשיך בתקווה שנגיע למספר הנכתב אך ורק בספרות 3 ו-7, אך קיימת דרך יעילה יותר: בעזרת שאריות.
נסתכל על המספר 73373. בשיטה העשרונית אפשר לכתוב את המספר כך:
 73373=7×10⁴+3×10³+3×10²+7×10¹+3×10⁰, ופירושו הוא 70,000+3000+300+70+3.
השארית של המספר הזה בחלוקה ב-21 היא סכום השאריות של כל אחד ממחובריו. אנו מחפשים מספר שסכום שאריותיו יתחלק ב-21, ואז המספר כולו מתחלק ב-21. נרכיב אותו בעזרת הטבלה הבאה, שמראה מהן השאריות כשבוחרים 3 או 7 במיקום מסוים של חזקת 10".

ומתי כתב את הטבלה הבאה עבור מספר של 5 ספרות שנכתב ב-7, 3:

"עלינו לבחור עתה בכל חזקה של 10 בין 3 לבין 7, כך ש:

א) סכום השאריות יתחלק ב-21.
ב) המספר יהיה הקטן ביותר. אם יש כמה פתרונות, נבחר בקטן ביותר ביניהם. שימו לב: במקרה שלפנינו כל השאריות לספרה 3 מתחלקים ב-3 ואילו כל השאריות לגבי הספרה 7 הן 7, וכיוון שסכום השאריות צריך להתחלק ב-3, ברור כמה פעמים צריך להופיע 7".

ואכן, תוך זמן קצר גילו הנוכחים את הפתרון, הדלת נפתחה וכולם נשמו לרווחה – עד לתעלול הבא של הדוקטור.

לו אתם הייתם בחדר, איך הייתם יוצאים?

הדרך לכך עוברת בשאלות הבאות:

שאלות

1. מהם הכללים לגבי התחלקות עבור המספרים 2, 2, 5 ו-9?

2. א. נסחו כלל לגבי התחלקות ב-6?

ב. נסחו כללים לגבי התחלקות ב-4 וב-8.

ג. בונוס: הראו כי אם ישנו פתרון לגבי קבוצת ספרות כלשהי, כלומר מספר שנכתב בספרות האלה ומתחלק בכל אחת מהספרות, אזי יש אינסוף פתרונות (ברור שהם לא הקטנים ביותר...).

3. מהן הספרות שאין פתרון לזוגותיהם עם 5? נמקו.

4. עתה רשמו את שמונת הפתרונות לפי הסדר, מ-(3,1) ועד (3,9).

5. הראו את ההבדל בין "הפתרון הקטן ביותר" לבין "הפתרון הקצר ביותר", על ידי כך שתמצאו בעזרת הטבלה של 3,7, פתרון נוסף של 5 ספרות.

6. מצאו באופן דומה, על ידי שימוש בטבלה, את הפתרון ל-(7,2).

7. מצאו על ידי טבלה את הפתרון ל-(7,5).

אמנון זקוב

הפתרונות

1 א. עבור 2: הספרה האחרונה זוגית.
ב. עבור 3: סכום הספרות מתחלק ב-3.
ג. עבור 5: הספרה האחרונה היא 5 או 0.
ד. עבור 9: סכום הספרות מתחלק ב-9.

2. א. מספר זוגי שסכום ספרותיו מתחלק ב-3.
ב. עבור 4: המספר המורכב משתי הספרות האחרונות מתחלק ב-4. עבור 8: המספר המורכב משלוש הספרות האחרונות מתחלק ב-8.
ג. נדגים זאת על ידי פתרון מסוים. ראינו שהפתרון ל-(3,1) הוא 1113, כך שאפשר ליצור אינסוף פתרונות על ידי הרצף 111311131113... בשיטת החזרה עליו כמה פעמים שנרצה. למשל: 11131113=1113*10,001

3. כל הספרות הזוגיות: מספר המתחלק ב-5 חייב להסתיים ב-5 (שללנו את הסיום ב-0 כי שום מספר אינו מתחלק ב-0), ולכן אינו זוגי ואינו יכול להתחלק במספר זוגי.

4. 1113, 2232, 3444, 3555, 36, 37737, 3888, 3339.

5. 73773 הוא פתרון נוסף שאורכו זהה לפתרון הקודם, אך גדול ממנו.

6.מספר כזה חייב להתחלק ב-14=2*7.

והפתרון הקצר ביותר הוא 2772.

7.מספר כזה חייב להתחלק ב-35=7*5.

והפתרון הוא 5775.

הערה: כאשר אנחנו מנסים לגלות מהו המספר איננו יודעים מראש מה יהיה אורכו. לכן עלינו ליצור טבלה הדרגתית. אם אין פתרון בשני טורים, מוסיפים טור שלישי. אם גם אז אין, מוסיפים רביעי, חמישי וכן הלאה.