מי לא היה בקהל המובחר? כל שועי הארץ. מי שלא היה, סימן שהיה לא חשוב. נשיא המדינה פתח ואמר, "רבותיי! בזאת אני חונך את שנת ה-60 למדינת ישראל. הישגינו מופלאים, אך דרושים עדיין תיקונים והשלמות וברשותכם אציין משימה אדירה: לשבור ולנפץ לרסיסים את האישיות הבלתי נסבלת, הפושע שאינו ניתן לתיקון, ד"ר לא! לא יהיו שלום ושלמות לחברתנו עד אשר נהפוך את הדוקטור לשבר כלי. אבל בחג הזה די לבזבז עליו מילים. ברשותכם אחנוך מתנה נפלאה ששלח אלינו מוונציה אומן הזכוכית הידוע זגוגוליני, המורכבת משישים פמוטי זכוכית ונציאנית, למען יודלקו בטקס זה לכבוד 60 שנות המדינה".
ובעוד הוא מצביע על הפרוכת שמאחוריה הוצבה יצירת האמנות, נשמע קול נפץ אדיר, וכשהתרוממה הפרוכת התגלה גל של רסיסי זכוכית. ואז, מהקלטה שהופעלה מרחוק, נשמע הקול המוכר:
"ידידיי! הבנתי שרצונכם במדינה מושלמת כרוך בשבירתי הפיזית והרוחנית. רציתי להדגים לכם את חלומכם על ידי שבירת יצירת האמנות לרסיסים – מראה לא סימפטי, אבל אני איש סימפטי ולכן שברתי מתקן תחליפי – ואת יצירת האמנות גנבתי והחבאתי. תוכלו למצאה רק אם תוכיחו שאתם מבינים בשלמות, ובמקרה שלנו – במספרים שלמים.
נתחיל בתרגיל קטן: ההוראה היכן לחפש את היצירה נמצאת אי שם במדינתנו. היצירה מורכבת משורות של פמוטים שמספריהם הם טור חשבוני עולה שהפרשו 1.
ההוראה הבאה נמצאת מערבה כמספר הפמוטים בשורה השביעית, ודרומה כמספר הפמוטים בשורה הראשונה והאחרונה יחדיו. מי ייתן ותצליחו להיכשל. בידידות אמת, אהובכם, ד"ר לא השנוא".
"אינני זוכר איך בדיוק היתה בנויה היצירה", התנצל ראש הטקס.
"צריך לטלפן במהירות לזגוגוליני ולשאול", הציע פקד כהן
"אפשר לטלפן, אך ישנה דרך קצרה יותר: לחשוב ולחשב", העיר מתי. "אנו יודעים שבטור חשבוני הסכום הוא (מספר השורות) כפול (סכום השורה הראשונה ועוד השורה האחרונה) לחלק לשתיים, והתוצאה במקרה שלנו היא 60.
ידועות עוד שתי עובדות: א', יש לפחות שבע שורות, וב', כיוון שבשורה הראשונה יש לפחות פמוט אחד ובכל שורה נוסף אחד, מספר הפמוטים בשורה האחרונה שווה למספר השורות או גדול ממנו. לכן יש לנו בדיוק פתרון יחיד!"
מתי חישב אותו ואכן מצא את ההוראה הבאה, ביחד עם צרור של שמונה פרחים נבולים שאליו צורף הפתק הבא:
"כאן הייתה ערוגת פרחים קטנה שבה הפרחים נשתלו במלבן. קטפתי שורה ואחר כך קטפתי טור וזרקתי. את הנותרים השארתי בצרור שמצאתם, ההוראה הבאה מצויה מזרחה מכם, והמרחק בקילומטרים הוא כמספר הפרחים בערוגה לפני שקטפתים".
"כאן", העיר מתי, "יש שתי אפשרויות". הוא חישב את שתי האפשרויות, הן נבדקו, וההוראה נמצאה במקום הרחוק יותר. אך בנקודה זו ניצבה בפניהם חידה שנראתה בלתי ניתנת לפתרון.
כך נכתב באגרתו של ד"ר לא:
"אם הגעתם עד הלום, סימן שבנדיבותי הצבתי בפניכם שאלות קלות במספרים שלמים. אך הפעם אציב בפניכם בעיה במשולשים פיתגוראים שתכשיל אותכם לבטח. אתם מצויים בנקודה המסומנת a1 בתרשים המצורף. עליכם ללכת מערבה מספר מטרים ראשוני P1 שלא אגלה לכם מהו, ואז לחשב את הניצב q1 השני צפונה במשולש פיתגוראי שניצבו האחד הוא P1, ואז לחזור מרחק של q1 על היתר לנקודה A2, ושוב לחזור על התהליך: מערבה מרחק ראשוני P2שלא אגלה לכם, לחשב את q2 ולחזור, וכך גם בפעם השלישית. בנקודת הסיום הזו חפרו בזהירות ותמצאו את יצירת הפמוטים – אם בכלל תצליחו להבין מה אמרתי ואיך לחשב זאת. ובצחוקי המפורסם 'הי הי' אני מסיים את התעללותי הנוכחית בכם. אהובכם, הדוקטור".
תרשים 1: משולשים פיתגוראיים
"איך אפשר לדעת היכן נמצאת נקודת המטמון B. הלא יש אינסוף מספרים ראשוניים. כל P כזה יכול להיות אלפי מטרים".
"גם מיליארדי מטרים וגם מיליארדי מיליארדים!" תרם מתי לייאושו של הפקד.
"זה יכול להימצא גם מעבר למערכת השמש, ואם הדוקטור עשה זאת שלוש פעמים זה עלול להיות..."
"פה!" אמר מתי, והורה לחפור בפיסת אדמה קטנה שממדיה לא עלו על 3*3 מטרים. לתדהמת הנוכחים נמצאה שם יצירת הפמוטים בשלמותה.
"איך?" השתומם הפקד. "הרי בעצמך אמרת שהדוקטור היה יכול לטייל אל מעבר למערכת השמש!"
"בהחלט", חייך מתי "שכחתי רק להוסיף שהד"ר היה חייב לחזור, דווקא בגלל המספרים הראשוניים".
הנוכחים תבעו הסבר ומתי ענה: "לפי משפט פיתגורס P2+q2=r2, כאשר r הוא היתר. אפשר לכתוב זאת כך: P2=r2*q2=(r+q)(r*q). כלומר, בהינתן P אנו יודעים ש-P2 שווה למכפלת סכום שאר שתי הצלעות בהפרשן. לכן עלינו לבחור בשני גורמים שמכפלתם תהיה P2, בתנאי שסכומם, שהוא r+q+r-q=2r, יהיה זוגי, למשל: P=12, P2=144. וישנם פתרונות אחדים: 18*8 ,24*6 ,36*4 ,72*2.
אך כאשר P הוא ראשוני יש רק פתרון אחד: P2*1. ועכשיו חשבו בעצמכם מה הם q ו-r ומה קורה כשחוזרים ב-r מרחק של q".
הנוכחים חישבו ופרצו בצחוק. אכן, ד"ר לא ערמומי, אך המתמטיקה מאפשרת לגבור על עורמתו. לכם לא נותר אלא לפענח את החישובים בעזרת השאלות הבאות:
שאלות
1. מהו המבנה של יצירת הפמוטים שיהיה טור חשבוני שסכומו 60 (עיינו בסיפור לגבי התנאים הנוספים). פרטו זאת על ידי מספר הפמוטים בשורה הראשונה, האחרונה ומספר השורות.
2. הסבירו מדוע אין פתרון נוסף.
3. מהן שתי האפשרויות לגבי ערוגת הפרחים?
4. א. באיזו מהן נמצאה בעיית המשולשים הפיתגוראיים?
ב. יש סוג של מספרים שאם מספר הפרחים שנמצאו היה שייך אליו, היה קיים רק פתרון יחיד. איך קרויים המספרים האלה?
5. בבעיית המשולשים הפיתגוראיים שאורך אחת מצלעותיהם הוא מספר ראשוני, קיבלנו את שתי המשוואות הבאות: r+q=P2ו-r-q=1.
מהו ערכם של r ו-q לגבי P?
6. לדוגמה, אם P=7, מה הערך של r ושל q?
7. ולכן בציור, מה המרחק בין A1 ל-A2, בין A2 ל-A3 ובין A3 ל-B?
8. ולכן מהו המרחק המקסימלי בין A1 ל-B?
9. במסגרת השאלון למדתם לחשב ניצבים ויתר בעזרת סדרת פיבונצ'י. כאשר יש ניצב שאורכו P הוא מספר ראשוני, מצאו סדרה של ארבעה מספרי פיבונצ'י כך שאחד הניצבים יהיה P והשוו אותה לתוצאות של שאלה 5.
10. שאלת בונוס: משאלה 8 נובע שהמרחק בין A ל-B הוא לכל היותר שלושה מטרים לכיוון צפון-מערב. אם תעיינו בפתרון תראו שככל ש-P גדול יותר כך הזווית תהייה צפונית יותר ומערבית פחות. מתי חפר שטח של 3*3 מטרים. הראו איך אפשר לצמצם מאוד את שטח החפירה. ציירו באופן כללי איזה שטח יש לחפור.
אמנון זקוב
הפתרונות
2+1) 120=(מספר השורות)*(סכום השורה הראשונה והאחרונה). כיוון שיש לפחות שבע שורות, הפתרונות השלמים הם 120=15*8=12*10
הפתרון היחיד ל-15*8 הוא: שורה ראשונה 4, שורה אחרונה 11, או בסך הכל שמונה שורות. האפשרות 12*10 אינה קיימת, כי אם בשורה הראשונה יש 1 אז בשורה העשירית יהיה 10 וסכומם 11 יהיה קטן מ-12. אם בשורה הראשונה יהיה 2, אז בשורה העשירית יהיה 11 וסכומם 13 יהיה גדול מ-12. לכן בשורה השביעית יש עשרה פמוטים ועלינו ללכת עשרה ק"מ מערבה ו-15 ק"מ דרומה.
4+3) כאשר מורידים במלבן שורה וטור, נותר לנו מלבן קטן יותר. שמונת הפרחים שהשארו יכלו להיות מלבן בשתי צורות: 1*8 או 2*4, ולכן המלבן המקורי היה יכול להיות 2*9 או 3*5, כלומר גודלו היה 18 או 15. ההוראה נמצאה בברירה הרחוקה יותר, כלומר 18 ק"מ מזרחה.
4 א') סוג המספרים היחיד שיש לו פתרון יחיד הוא מספר ראשוני P שאין לו מחלקים, לכן יכולים להישאר רק טור יחיד או שורה יחידה.
5) 
6) r=25, P=7, q=24
8+7) לכל היותר שלושה מטרים, כשהמרחק בין כל שתי נקודות סמוכות הוא מטר אחד בדיוק.
9) מאחר ששני הניצבים מתקבלים ממכפלות ואת המכפלה של האיבר השני בשלישי צריכים לכפול ב-2, ברור שהמכפלה האחרונה הזו אינה ראשונית, ולכן האיבר הראשון הוא 1 והרביעי הוא P, כלומר P=1*P. אם האיבר השני הוא a, אזי השלישי הוא a+1 ו-
, והאבר השלישי הוא 
, ולכן 
. התוצאה הזו זהה למה שקיבלנו בשיטה אחרת בשאלה 5.
10) השטח שבו צריך לחפור הוא השטח המקווקו בתוך הריבוע של 3*3 מטר. אנו יודעים שהמרחקים בכל פעם הם מטר אחד, ולכן מתרחקים לכל היותר שלושה מטרים מ-A1, וזה השטח המסומן בתוך הקשת, ובמרחק של מטר מנקודת המוצא.
היחס בין ההיטל לגובה וההיטל האופקי הוא 
וזה לפחות 3/4 במקרה של P=3. כאשר P=7 נקבל 24/7 והיחס יגדל ככל ש-P יהיה גדול יותר. לכן רק במקרה של שלוש פעמים P=3 נגיע לנקודה D, כשבכל פעם נתקדם 60 ס"מ אופקית ו-80 ס"מ אנכית והיתר הוא 1 מטר. בכל שאר המקרים, סכום הגבהים יהיה יותר מ-2.40 וסכום האופקיים פחות מ-1.80.
