איך אפשר לגזור בנייר קטן חור מספיק גדול שאפשר ממש לעבור דרכו?
בניסוי הזה נראה איך המתמטיקה מאפשר לנו לגזור חור גדול אפילו בנייר קטן.
ציוד
- נייר (דף ממחברת, נייר A4 או חצי ממנו)
- מספריים
הניסוי
את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון:
הסבר
במבט ראשון, המשימה בניסוי נראית בלתי אפשרית: איך אפשר לגזור בנייר קטן חור שיהיה גדול מספיק כדי שנוכל לעבור דרכו בכל גופנו? רובנו ננסה פשוט לגזור חור עגול גדול במרכז הנייר, ונגיע למסקנה המוטעית שזאת משימה בלתי אפשרית.
סוד ההצלחה טמון בניצול כל שטח הנייר, ובהבדל בין הממדים של גופים שונים בגיאומטריה:
מבחינה מתמטית, לנקודה אין אורך, רוחב או גובה.
לקו יש רק אורך, אך לא רוחב או גובה. ולכן אפשר לצייר כמה נקודות שרק נרצה בתוך כל קו. בהמשך לכך, לשטח יש אורך ורוחב, אך לא גובה, ולכן מבחינה מתמטית אפשר להעביר בתוך שטח נתון כמה קווים שרק נרצה.כשאנחנו גוזרים נייר, פעולת הגזירה במספריים היא בעצם קו שאנחנו מותחים בתוך שטח הנייר, אם נגזור מספיק קווים, ונחבר אותם ללולאה גדולה המורכבת מכל הקווים שגזרנו, נוכל להגיע ללולאה שההיקף שלה יהיה גדול יותר מההיקף של גופנו. ככל שנגזור יותר קווים, הלולאה תהייה ארוכה יותר. מבחינה מתמטית אין גבול לאורך הפוטנציאלי שלה.
אפשר לעשות אפילו חשבון תיאורטי ולהעריך כמה קווים נצטרך לגזור כדי לקבל לולאה ארוכה מספיק שכל כדור הארץ יוכל לעבור בה. היקף כדור הארץ הוא 40 אלף קילומטר, שהם 40 מיליון מטר, שהם 4 מיליארד סנטימטר. נניח שהאורך של כל קו שנגזור הוא כ-15 סנטימטר, ומכיוון שהדף מקופל לשניים, אז כל גזירה מוסיפה 30 ס"מ (15 כפול 2) לאורך הלולאה, אם כך, נצטרך לגזור כ-133 מיליון קווים כדי ליצור לולאה רחבה יותר מההיקף של כדור הארץ כולו (4 מיליארד חלקי 30). כל זה טוב ויפה מהבחינה התיאורטית, אבל בפועל לעולם לא נמצא מספריים מספיק עדינים כדי לגזור כל כך הרבה פסים. גם הנייר לא יהיה חזק מספיק, וסביר להניח שהלולאה תיקרע תחת כובד משקלו העצמי, כי פסי הנייר יהיו דקים מדי. כך שזה אפשרי ברמת הרעיון, אבל מעשית – לא ממש.
כלומר, בחיים בעולם הממשי יש לנו מגבלות לעובי, למשל העובי של האטומים והמולקולות שמהם מורכב החומר, וגם לחוזק, שלא קיימות במתמטיקה, כך שהגבול המעשי לאורך הלולאה הוא קצר יותר. אבל עדיין, אם גוזרים בעדינות אפשר לעשות דברים מעניינים, למשל לגזור מכרטיס ביקור או מפתק ריבועי קטן להודעות, לולאה שגם דרכה תצליחו לעבור. אני הצלחתי, אז גם אתם יכולים!
