היום לפני: חייו, מותו ומשנתו של משת"פ סדרתי

"מתמטיקאים הם מכונות שהופכות קפה למשפטים מתמטיים". המשפט הזה, שעלול להישמע בעייתי מבחינות שונות, מתקבל אחרת לחלוטין אם יודעים שהוא יצא מפיו של פאול ארדש, אחד מהמתמטיקאים המוכשרים, הפוריים והייחודיים, שלא לומר מוזרים, בכל הזמנים. הוא נולד בהונגריה בשנת 1913 למשפחה יהודית, וכשמת, ב-20 בספטמבר 1996, השאיר אחריו יותר מ-1,500 מאמרים מדעיים, פרס מדעי יוקרתי הקרוי על שמו ועולם ששיתוף הפעולה המדעי בו רב בהרבה מכפי שהיה לפניו.

ארדש, אומרים מתמטיקאים רבים בכל העולם, היה משת"פ סדרתי. למעשה, שיתוף הפעולה היה עיקרון יסוד באסטרטגיית "ניהול הקריירה" שלו. מתמטיקאים שכתבו איתו מאמר גאים להגדיר את עצמם כ"מספר ארדש 1". כ-500 "מספרי ארדש 1" רשומים באתרי אינטרנט המוקדשים לו, לפועלו ולרשת העולמית של שיתופי פעולה שטווה בחייו, ושהמשיכה להתפתח לאחר מותו. מדענים ומתמטיקאים שכתבו מאמר עם מדען שהוא "מספר ארדש 1", מוגדרים כ"מספר ארדש 2". כך נמשכת השרשרת ונטווית הרשת, עד למספרי "ארדש 8", שלרבים מהם אין שום קשר למתמטיקה. מאות אלפי מדענים ולא מדענים מרכיבים את הרשת הזאת.

ארדש היה התגלמות היהודי הנודד. לא הייתה לו כתובת קבועה וכל רכושו היה תכולתן של שתי מזוודות בלויות. "רכוש אישי הוא מטרד", נהג לומר. לא היה לו מינוי קבוע בשום אוניברסיטה, אבל ברגע שהופיע, בדרך כלל במפתיע, בשעריו של מוסד אקדמי כלשהו, קיבלו אותו עמיתיו בסבר פנים יפות.

הוא היה בא והולך כמעט כמו מרי פופינס, על פי השינויים בכיוון הרוח (כלומר, על פי מצב הרוח שלו עצמו). בחלק מהאוניברסיטאות ומכוני המחקר אף מצאו דרך לשלם לו משכורת צנועה בעד תקופת שהותו במקום. אבל הוא לא ממש הוטרד מזוטות כאלה. פעם שכח מעטפה ובה כל שכרו, במזומן, בחדר במלון שבו שהה בכנס מדעי. בפעם אחרת מסר את רוב שכרו לקבצן בתחנת הרכבת התחתית באחת מערי אירופה.

בשבילי המכון

האסטרטגיה המיוחדת של שיתופי הפעולה של ארדש פרחה בסביבה הייחודית של מכון ויצמן למדע, המעודדת שיתופי פעולה מדעיים ורב-תחומיים מכל הסוגים. פרופ' יוסף גיליס היה הראשון ממדעני המכון שכתב מאמר מדעי במשותף עם ארדש וזכה לתואר "מספר ארדש 1". גיליס, שנודע בקשת הרחבה של הנושאים שעניינו אותו, שיתף פעולה במחקרים עם מדענים רבים מתחומים לא מתמטיים. ביניהם אפשר למנות את פרופ' אפרים קציר, פרופ' ישראל דוסטרובסקי ופרופ' אורה קדם, שנושאים בין שלל תאריהם והישגיהם גם את התואר "מספר ארדש 2".

פרופ' אביעזרי פרנקל, גם הוא בעל "מספר ארדש 1", מספר: "ארדש לא אהב בתי מלון. במקום זה העדיף להתארח בבתיהם של ידידיו המתמטיקאים. כך היה יכול להעיר את המארח בארבע לפנות בוקר ולומר לו, 'ידידי, המוח שלי פתוח. המוח שלך פתוח?' נשות החברים בישלו את ארוחותיו וכיבסו את בגדיו וגרביו, שהיו עשויים כולם משי ונתפרו בהזמנה מיוחדת. אבל השירותים האלה לא זיכו אותן בתשומת לב רבה מדי מצדו. זכורני פעם אחת שהיינו שקועים בניסיון להתמודד עם בעיה מתמטית והדבר לא כל כך צלח בידינו. כדי להתרענן מעט יצאנו לטייל בשבילי המכון, כשאנו משוחחים כמובן על ענייני מתמטיקה. במקרה, בשביל מולנו פגשנו את אשתי, שיצאה מגדרה לארח את ארדש ולפנק אותו, אבל הוא פשוט לא זיהה אותה מחוץ להקשר של הבית".

ארדש לא ידע ולא רצה לדעת להפעיל מכונת כביסה או לנהוג במכונית. חבריו המתמטיקאים עשו בשבילו הכל, וכך יכול היה להקדיש את כל זמנו אך ורק למתמטיקה. עד להגיעו לגיל 21 לא ידע למרוח חמאה על לחם. בגיל 11 שרך לראשונה את נעליו – אמו או המשרתת עשו זאת בשבילו עד אז. אמו הייתה מורה למתמטיקה וידעה לזהות את גדולתו. לימים סיפרה שכבר בגיל שלוש הוא גילה בעצמו את המספרים השליליים. זיהוי הכישרון של בנה, והעובדה ששתי אחיותיו הבוגרות מתו בילדותן ממחלה, דרבנו את האם לעשות הכול כדי להגן על ארדש הצעיר ולסוכך עליו מפני המציאות.

הוא לא קרא ספרים, לא צפה בסרטים ולא יצא לבלות עם מי שאינו מתמטיקאי – וגם אז הבילוי היה למעשה שדה לדיונים בענייני מתמטיקה, פעמים רבות בלשונו הייחודית (פירוט בתחתית הכתבה). הוא שלח לחבריו המתמטיקאים כ-1,500 מכתבים בשנה, שרובם עסקו כמובן במתמטיקה. פתיח של מכתב טיפוסי: "אני באוסטרליה. מחר אני נוסע להונגריה. יהי k המספר השלם הגדול ביותר..."

הטלת מטבע 

ארדש קיבל דוקטורט במתמטיקה מאוניברסיטה בודפשט בהיותו בן 21, בשנת 1934. אחת מתרומותיו הבסיסיות הייתה הכנסת שיטה הסתברותית להוכחת קיום. השיטה מבוססת על הטלת מטבע, דרך פעולה שלא הייתה קיימת עד אז במתמטיקה אך כיום רווחת למדי במדעי המחשב, החל בתחום של ניתוב שיחות טלפון וכלה בתכנון מערכות של טילי הגנה נגד טילים בין-יבשתיים.

דוגמה לכך עשויים לשמש המספרים הראשוניים המתחלקים רק בעצמם וב-1. זה מתחיל בקטן: 2, 3, 5, 7, 11, 13 והרשימה הזאת נמשכת עד אין-סוף. כיום אנו מכירים מספרים ראשוניים הכוללים מאות אלפי ספרות, ועוד היד נטויה. הדרך הפשוטה לבדוק אם מספר מסוים הוא ראשוני או לא היא לנסות לחלק אותו בכל המספרים הקטנים ממנו. אבל זה, כמובן לא מעשי. אפילו מחשב-על מהדגם המשוכלל ביותר הידוע כיום לא ישלים את סדרת החישובים הדרושה לקביעת ראשוניותו של מספר בן מאתיים ספרות, גם אם יפעל מהיום ועד אחרית היקום.

לפני כ-25 שנה, בעקבות שיטת הטלת המטבע המפתיעה של ארדש, הציע פרופ' מיכאל רבין מהאוניברסיטה העברית דרך לאתר מספרים ראשוניים, שהתבססה על הסתברות, כלומר, על סדרה ארוכה של מעין "הטלות מטבע" אקראיות. השיטה פועלת במהירות, אך משאירה סיכון מסוים שמספר לא ראשוני יזוהה בטעות כמספר ראשוני.

כאן נכנסה לתמונה פרופ' שפי גולדוסר מהמחלקה למדעי המחשב ולמתמטיקה שימושית במכון ויצמן למדע. היא פיתחה דרך חדשה לשימוש ב"הטלה אקראית של מטבעות", המספקת הוכחה (לא רק הסתברות גבוהה) לראשוניותו של מספר. שיטתה משתמשת ב"הטלת המטבעות" לצורך ביצוע חיפוש אקראי מהיר אחר הוכחות הראשוניות. השיטה הזו מאפשרת כיום אספקה שוטפת של מספרים ראשוניים, הדרושים ליישומים בתחום ההצפנה והפענוח.

ארדש לא רק ניסה להתמודד בעצמו עם בעיות מתמטיות, אלא גם עודד והמריץ אחרים, בכל רחבי העולם, לעשות זאת. הוא נהג להכריז על פרסים כספיים שיעניק מכיסו למתמטיקאים שיפתרו בעיות מסוימות. גובה הפרס נקבע לפי מידת הקושי שייחס ארדש לבעיה, החל ב-100 דולר לבעיות פשוטות וכלה ב-3,000 דולר לשאלות מורכבות יותר. מדי פעם היה מעדכן את הסכומים כשהגיע למסקנה שבעיה מסוימת קשה מכפי שהעריך תחילה. לאגודה הישראלית למתמטיקה העניק סכום כסף שממנו מוענק מדי שנה פרס ארדש למתמטיקאי צעיר, עד גיל 40, שהגיע להישגים יוצאים מן הכלל.

פעם שמע על תלמיד תיכון מוכשר, גלן ויטני, שרצה ללמוד בהרווארד אך לא היה בידו לשלם את שכר הלימוד. ארדש הלווה לו 1,000 דולר וביקש שיחזיר את הכסף רק כשזה לא יגרום לו מצוקה כספית. לימים, כשוויטני ביקש להחזיר את הכסף ושאל את ארדש כיצד לחשב את הריבית, ענה לו ארדש: "עשה ב-1,000 הדולר האלה מה שאני עשיתי בהם".